一、最短边的长度为奇数
观察下表中的勾股数：
… | … | … |
二、最短边的长度为偶数
最短边的长度为偶数时，没有公约数的勾股数又有什么规律呢？
首先，最短边为偶数时，其他两边不可能再是偶数，否则就有了公约数，所以另外两个勾股数必为奇数，而且这两个奇数的平方差是的倍数（八年级上册曾学过）.这是因为两个奇数可以表示为和，这里的、都是正整数，不妨设，则
.
因为、都为正整数，而任意两个正整数的和与差具有同奇同偶性，所以与这两个数中，有且只有一个偶数，所以必定能被整除.这说明，一组无公约数的勾股数中，如果最小的数为偶数，则它的平方必为的倍数，而另外两数必为奇数.
观察下表中的没有公约数的勾股数：
… | … | … | … |
由此表格中的数据可以得出，该表格中的无公约数的勾股数具备这样的特征：当（≥）时，，，同时我们容易验证：.
综上，我们对无公约数的勾股数做了一定的探索，并获得了一般规律，只要能牢固掌握这些
规律，今后解决相关的题目就能够驾轻就熟.
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