第7讲万有引力定律的应用-1
2．理解万有引力定律在天文学上的重要应用—预测未知天体、预言哈雷彗星的回归；
3．能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解；
4．知道三个宇宙速度的含义，并会推导第一宇宙速度；
5．认识同步卫星的特点．
【重、难点】1．应用万有引力定律计算天体的质量和密度；
2．综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法．
知识点睛
一、预测地球形状
对地球形状的认识是当时对万有引力定律的第一个重大考验．牛顿通过万有引力定律的理论计算，大胆预测：地球由于自转作用，赤道部分应该隆起，成为两极扁平的椭球体．由于地球自转以及呈椭球状，导致了一个有趣现象的出现：北极圈附近的挪威人贩鱼到赤道附近时，鱼变轻了．
二、预测未知天体孙权简介
1．已发现天体的轨道推算
在万有引力定律提出之前，人们主要依靠直接观察的方式来发现新的天体．1781年，英国天文学家赫歇尔用自制大型反射望远镜发现了太阳系的第七颗行星——天王星之后，各国天文学家都对它进行了持续的观测，结果发现，天王星的运行轨道，与根据万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差．这是什么原因造成的呢？科学家们提出了各种猜想：
（1）可能是以前的天文观察数据不准确．
（2）可能是天王星内侧的土星和木星对它的吸引造成的．
（3）可能是天王星外侧的一颗未知行星对它的吸引造成的．
（4）可能是天王星一颗质量很大的卫星对它的吸引造成的．
（5）可能牛顿的万有引力定律本身就是错误的．
……
2．未知天体的发现
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶结合万有引力计算，并将理论计算结果与实际观测数据反复对照，不断修正，终于在1845年分别独立推算出一颗新行星的运行轨
道．1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，发现了一颗新的行星——海王星． 3．物理意义
文颂娴主演的电视剧海王星的发现，以及英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位，充分显示了科学理论对实践的巨大指导作用． 三、估算天体质量
天体的质量不可能用天平测量，但我们可以通过应用万有引力定律计算得出．通过以下例题，体会科学理论对科学探索的指导价值． [问题设计]
月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，已知月球绕地球转动的周期T 和半径r ，引力常量为G ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，利用这些已知条件，有多少种方法可以估算地球的质量？
[要点提炼]
1．方法一：月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则G M 地m 月r
2＝m 月⎝⎛⎭⎫2πT 2
r 由此可得地球质量M 地＝4π2r 3
GT
2．
2．方法二：地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，则m 物g ＝G M 地m 物
R
2
由此可得地球质量M 地＝gR 2
G
方法二就是“第一位称量地球的人”——卡文迪许当年所使用的方法．
3．参照以上估测地球质量的两种方法，只要知道卫星或行星绕中心天体运动的周期及两者之间的距离，或天体半径及其表面重力加速度，就可以求出该中心天体的质量． 四、宇宙速度
从古代嫦娥奔月的传说，到如今我国的“载人航天工程”、“探月工程”的有序开展，人类根据万有引力定律等科学理论发展起来的航天技术，实现了人类飞向太空的梦想．那么，人类挣脱地球引力的束缚，飞向太空的壮举是怎样实现的呢？
下面构建物理模型，估算航天器绕地球运动的速度．
若航天器环绕地球做匀速圆周运动．设地球质量为M ，航天器质量为m ，速度为v ，到地心的距离为r ，地球对航天器的引力就是航天器做圆周运动所需的向心力，因此有：G Mm
r 2＝m v 2
r
解得v ＝
GM
r
，这就是航天器在不同轨道运行时的线速度表达式．由此可知，航天器环绕轨道半径越大，速度越小．若航天器在地面附近绕地球做匀速圆周运动，则航天器到地心的距离r 可认为近似等于地球的半径R ，把地球的质量M =5.97×1024kg 和地球的半径R =6.37×106m 代入后，可得 v ＝
GM
R
= 6.67×10-11×5.97×1024
6.37×106
m/s=7.91km/s
我们把航天器在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度7.9km/s 称为第一宇宙速度，也叫
环绕速度．
地球引力像一根无形的“绳子”，牵引着月球和人造地球卫星环绕地球转动．在地面附近发射航天器，如果速度等于7.9km/s ，这一航天器只能围绕地球做圆周运动，还不能脱离地球引力的束缚，飞离地球实现星际航行．
理论研究指出，在地面附近发射航天器，如果发射速度大于7.9km/s ，又小于11.2km/s 时，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆．当航天器的发射速度大于或等于11.2km/s 时，航天器就会挣脱地球的引力，不再绕地球运行，而是绕太阳或飞向其他行星．我们把v ＝11.2km/s 称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度．
达到第二宇宙速度的航天器虽然脱离了地球引力的束缚，但还受着太阳引力的束缚，如果要使航天器挣脱太阳的引力，飞出太阳系，其发射速度至少要达到v ＝16.7km/s ，这个速度称为第三宇宙速度． 五、人造卫星
人造卫星是人类的“千里眼”和“顺风耳”．人造卫星种类很多、用途各异，有科学卫星、气象卫星、地球资源卫星、环境检测卫星和照相侦察卫星等，卫星上的照相机和雷达等设备可以帮助人们看得更远、更深入．
卫星上的接收器和转发器可以帮助人们接收和转发信息．例如，通信卫星可以把相距遥远的两地连接起来，即使是边远地区也可以进入通信网络．尤其是静止通信卫星（也叫地球同步卫星），为人类通信带来了极大方便．静止通信卫星绕地球运行一周的时间和地球自转一周的时间相同，在
地球上观察，赤道上方与地球同步运行的通信卫星总是静止不动的．从理论上来说，发射三颗等距分布在地球同步轨道上的静止通信卫星就几乎可以实现全球通信了． 1．定义：人造卫星是指环绕地球在宇宙空间轨道上运行的无人航天器． 2．分类：通信卫星、测地卫星、气象卫星、科学卫星等． 3．北斗卫星导航系统
北斗卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统，是为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的国家重要空间基础设施．北斗卫星导航系统已经于2020年建成，由5颗静止轨道和30颗非静止轨道卫星组网而成．其中静止轨道卫星又称为同步卫星，是指与地球相对静止的卫星，这种卫星的轨道平面与赤道平面重合，并且位于赤道上空一定的高度上．
考点一 预测未知天体
例1．下列说法正确的是（ ）
A ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
B ．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星 考点二 天体质量和密度的估算 1．天体质量的计算 （1）重力加速度法
若已知天体（如地球）的半径R 及其表面的重力加速度g ，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G Mm R 2，解得天体的质量为M ＝gR 2
G ，g 、R 是天体自身的参量，所
以该方法俗称“自力更生法”． （2）环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
典例精析
2（1）一般思路：若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝
M 43陈法拉老公薛世恒
πR 3，将质量代入可求得密度．
（2）特殊情况
k宝证书下载①卫星绕天体做半径为r 的圆周运动，若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝
M
43
πR 3
，将M ＝4π2r 3
GT 2
代入得：ρ＝3πr 3GT 2R 3．当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3π
GT 2．
②已知天体表面的重力加速度为g ，则ρ＝M 43πR 3＝gR 2
G 43πR 3＝3g
贵州省旅游景点4πRG
（一）自力更生法
例2．地球表面重力加速度为g 地、地球的半径为R 地、地球的质量为m 地，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g 火、火星的半径为R 火，由此可得火星的质量为（ ）
A ．g 火R 火2g 地R 地2m 地
B ．g 地R 地2g 火R 火2m 地
C ．g 火2R 火g 地2R 地m 地
演员陈婷D ．g 火R 火
g 地R 地m 地 例3．某同学从网上得到一些信息，如表中数据所示，判断地球和月球的密度之比为（ ）
A ．23
B ．3
2 C ．4 D ．6
变式1、地球可视为球体，其自转周期为T ，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P ，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P ，地球的平均密度是多少？
变式2、若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R．求：（不考虑月球自转的影响）
（1）月球表面的自由落体加速度大小g月；（2）月球的质量M；（3）月球的密度．
（二）借助外援法
例4．（多选）已知万有引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可算出的物理量有（）
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的密度 D．月球绕地球运行的速率
变式3、（多选）卫星绕行星做匀速圆周运动，若已知引力常量为G，由以下物理量能求出行星质量的是（）
A．卫星的质量和轨道半径 B．卫星的线速度和轨道半径C．卫星的运转周期和轨道半径 D．卫星的密度和轨道半径
例5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常数为G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为什么？
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