概率论与数理统计复习参考题
随机事件与概率
1．已知事件、A B 满足)()(B A P AB P I =且p A P =)(，求= 1)(B P −p 。
2．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则第二次取出的是次品的概率为 1/6 。
3．设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1/5 。
4．从数1，2，3，4中任取一数，记为X ，再从1X ~中任取一数，记为Y ，则==}2{Y P 13/48 。
5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 2/3 。
6．设两两相互独立的三个事件满足条件：C B A ，，2/1)()()(<==C P B P A P ，φ=ABC ，且已知，则16/9)(=C B A P U U =)(A P 1/4 。
7．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1/9，
A 发生
B A 和B 不发生的概率与B 发生不发生的概率相等，则A =)(A P 2/3 。
8.设是两个事件, B A ,4.0)(=A P ,5.0)(=B P , )|()|(B A P B A P =，则=)(B A P 0.2 。
9．设和A B 是任意两个概率不为零的不相容事件，
则下列结论肯定正确的是 []。 D (A )A 与B 不相容 (B )A 与B 相容 (C ))()()(B P A P AB P = (D ))()(A P B A P =−
10．对于任意二事件和A B ，与B B A =U 不等价的是 [ ]
D （）A B A ⊂ （B ）A B ⊂ （C ）φ=B A （）D φ=B A
11．设和A B 为任意两个事件，且A B ⊂，P B ()>0，则必有 [ B ]
(A ) ()|()(B A P A P <B )P A P A B ()(|)≤
(C ) (D )
P A P A B ()(|)>P A P A B ()(|)≥12．对于任意二事件和A B
()若A φ≠AB ，则、A B 一定独立。 (B )若φ≠AB ，则、A B 有可能独立。
(C )若φ=AB ，
则、A B 一定独立。 ()若D φ=AB ，则、A B 一定不独立。 [ B ] 13．设事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是 [ A B C ，，A B C ，，A ]（A ）与独立 （A BC B ）与独立
AB C A U （C ）与独立 （）与独立
AB AC D B A U C A U 14．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件 [ 1A 2A 3A 4A C ]
（A ）相互独立； （321,,A A A B ）相互独立；
432,,A A A
（C ）两两独立； （）两两独立；
321,,A A A D 432,,A A A 15．设在电炉上安装了4个温控器，其显示温度误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示温度不低于临界温度电炉就断电。以0t E 表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则）
（）（）（）（4321T T T T ≤≤≤E 等于 [ C ] （） （A }{01t T ≥）（B ） （}{02t T ≥）（C ） （）
}{03t T ≥）（D }{04t T ≥）（ 16．设M 件产品中有n 件次品，从中任取两件，已知所取两件中有一件不是次品，则另一件是次品的概率为 [ C ] () A )1()(2−−M M n M n (B )121−−−n M n (C )12−+n M n (D ))
1()12(−−−M M n M n 17．(占位问题）设有n 个人，每个人都以相同的概率1N 被分配到N n N ()≤间房中的每一间中，试求下列事件的概率：
：某指定的n 间房中各有一个人； A B ：恰有间房其中各有一个人； n C ：某指定的房中恰有m 个人（m <）； ：恰有两间房中有人。 n D 18．有两个盒子，第一个盒子装有2个红球，1个黑球，第二个盒子装有2个红球，2个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球，求（1）这个球是红球的概率；（2）若发现这个球是红球，问第一个盒中取出的球是红球概率。 19．若)|()|(B A P B A P =，证明事件相互独立。
B A 与事件20．设，且1)(01)(0<<<<B P A P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则相互独立。
B A 、21．设、A B 是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明，A ).()(A B P A B P =是事件与A B 独立的充分必要条件。
22．考虑一元二次方程，其中分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率02=++C Bx x C B 、p 和有重根的概率根的概率q 。
23．有来自三个地区的各10名、15名、和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，(1)求先抽
到的一份是女生表的概率p ；
(2)已知后抽到的是男生表，求先抽到的是女生表的概率。 q 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。若甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少（假定这一昼夜没有别的轮船停靠在该码头上）。
25．随机地向半圆220x ax y −<<（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与a x 轴的夹角小于4/π的概率为 。
随机变量及其分布
1．若且)2(~2σ，N vX r ⋅3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P 0.2 。 2．设ξ在(0,5)上服从均匀分布，方程有实根的概率为 02442=+++ξξx x 3/5 。 3．设随机变量X 服从正态分布（),(2σµN 0>σ）且二次方程
无实根的概率为1/2，则042=++X y y =µ 4 。
4．设随机变量X 的概率分布为，以⎩
⎨⎧<<=其它，，010)(x Ax x f Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{出现的次数，则/X ≤12}P Y {}=2= 9/64 。
5．设随机变量X 服从参数为(的二项分布，随机变量)2，p Y 服从参数为()的二项分布。若3，p P X {}≥=15，则P Y {}≥=1 19/27 。
6．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率i 1
1+=i p i （i =1，2，3），以X 表示3个零件中合格品个数，则 ==}2{X P 11/24 。 7．设随机变量X 的概率密度为 ， 若使得，则k 的取值范围是 ⎪⎩
⎪⎨⎧∈∈=其它若若,0]6,3[,9/2]1,0[,3/1)(x x x f k 3/2}{=≥k X P 31≤<k 。
8．设X 是[0，1]上的连续随机变量，并且8.0}3.0{=≤X P ，若X Y −=1，且，则k =2.0}{=≤k Y P 0.7 。
9．设随机变量X 服从正态分布，对给定的)1,0(N )10(<<αα，数满足
αu αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 [ C ]
(A) . (B) . (C) . (D) . 2/αu 2/1α−u 2/)1(α−u α−1u 10．设与分别为)(1x F )(2x F r v ⋅1X 和的分布函数，为使是某一2X b x aF x F −=)()(1)(2x F r v ⋅的分布函数，则下列给定的各组数值中应取 [ ] A (A )5/2,5/3−==b a (B )3/2,3/2==b a (C )2/3,2/1=−=b a (D )2/3,2/1−==b a
11．
设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则
1X 2X )(1x f )(2x f )(1x F )(2x F （）+必为某一随机变量的概率密度。
A )(1x f )(2x f （
B ）必为某一随机变量的概率密度。
)(1x f )(2x f （C ）+必为某一随机变量的分布函数。
)(1x F )(2x F （D ）必为某一随机变量的分布函数。 [ ] )(1x F )(2x F D 12．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等。以X 表示
该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X 的概率分布及。
))1/(1(X E + 13．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数和数学期望。
14．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10， 0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的概率分布、数学期望、方差。
15．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产仪器台（假定各台仪器生产过程相互独立），求：
)2(≥n n （1）全部能出厂的概率α；
（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ。
16．假设测量的随机误差，试求100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率)100(~2，
N X α，并利用泊松分布求α的近似值。
17．在电源电压不超过200、200~240和超过240伏三种情况下，某种电子元件埙坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，假定电源电压，试求：（1）该电子元件被埙坏的概率)25220(~2，N X α；（2）电子元件被埙坏时，电源电压在200~240伏内的概率β。 18．假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数服从参数为)(t N λt 的泊松分布，求：（1）相继两次故障之间间隔时间T 的概率分布；（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率θ。
19．假设随机变量X 的绝对值不大于1，8/1}1{=−=X P ，；在事件出现的条件下，4/1}1{==X P }11{<<−X X 在(内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比，试求：（1）)−11，X 的分布函数}{)(x X P x F ≤=；（2）X 取负值的概率p 。
20．设X 服从参数为2的指数分布，证明 在(0,1)上服从均匀分布。
X e Y 21−−=21．设随机变量，求)(~x f X 2X Y =的分布密度。
22．设X 服从(0，2)上的均匀分布，求2X Y =在(0，4)内的分布密度。
)(y f Y 23．假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开
机无故障工作的时间Y 的分布函数。
)(y F 24．设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,
0,3/1)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f )(x F 是X 的分布函数。求随机变量的分布函数。
)(X F Y =
多维随机变量及其分布
1．已知随机变量，且)13(~)11(~，，，N Y N X −X 与Y 相互独立，设随机变量，则72+−=Y X Z Z ~ 。
），（50N 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为f x y ()，=)}(21exp{21
222212
21σσσπσy x +− (,−∞<<+∞)x y ，则随机变量Z =X -Y 的概率分布为f z ()= 。
3．设X 与Y 相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则 1/2 。
=≤}{Y X P 4．设随机向量(的概率密度，则 1),Y X 其他,
10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=y x x y x f =≤+}1{Y X P 4/ 。
5．设随机向量（X ,Y ）
服从二维正态分布：(，则)0;1,1;0,0(~),N Y X =<)0/(Y X P 1/2 6．设r v ⋅X 与r v ⋅Y 相互独立且同分布：2/1}1{}1{=−==−=Y P X P ， 2/1}1{}1{====Y P X P ，则下列各式中成立的是 [ ] A 2/1}{)(==Y X P A 1}{)(==Y X P B 4/1}0{)(==+Y X P C
4/1}1{)(==XY P D 7．设两个相互独立随机变量X 和Y 分别服从正态分布和则[ )1,0(N )1,1(N B ]
（） （A 2/1}0{=≤+Y X P B ）2/1}1{=≤+Y X P
（C ） （）2/1}0{=≤−Y X P D 2/1}1{=≤−Y X P
8．设 （⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−4/12/14/1101~i X 2,1=i ），且1}0{21==X X P ，则等于 }{21X X P = （） 0 （A B ） 1/4 （C ） 1/2 （） 1 [ ]
D A 9．假设随机变量X 服从指数分布，则随机变量Y }2,min{X =的分布函数 [ ]
D （）是连续函数；（A B ）至少有两个间断点；
（C ）是阶梯函数；（）恰有一个间断点。
n号房时间D 10.设二维随机变量(的概率分布如下，已知随机事件{与{相互独立，则
)Y X ，=X =+Y X }0}1 Y 0 1
X 0 0.4
a 1 0.1
b )(A 3.0,2.0==b a )(B 1.0,4.0==b a )(C 2.0,3.0==b a ( [ )D 4.0,1.0==b a B ] 11．设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为，求 ⎩
⎨⎧<<=−其它，，00),(y x e y x f y （1）随机变量X 的密度函数;
)(x f X （2）概率。
}1{≤+Y X P 12．（数学一）设某班车起点站上客人数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位
乘客在中途下车的概率为)10(<<p p ，且中途下车与否相互独立。以Y 表示中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；
（2）二维随机变量的概率分布。
),(Y X 13．设随机变量具有概率密度，求： )(Y X ，⎩
⎨⎧≥≥=+−其他，，0,0),()(y x Ce y x f y x 0 （1）常数C ；（2）分布函数;（3）概率),(y x F }1{≤+Y X P 。
14．设G 为由抛物线和y x =2x y =所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求的联合概率密度及边缘概率密度，并验证)(Y X ，G Y X 、X 与Y 是否独立。
15．设
在上服从均匀分布，求条件分布密度。 ），（Y X 122≤+y x )|(|y x f Y X 16．设X 在区间上服从均匀分布，在)1,0()10(<<=x x X 的条件下，Y 在区间上服从均匀分布，求：（1）随机变量),0(x X 和Y 的联合概率密度；（2） 的概率密度；
Y （3）概率。
}1{>+Y X P 17．设独立同分布，且Y X 、2/1}1{}0{====X P X P ，
则 },max{Y X Z =的概率分布为 。 18．设ξ与η独立同分布，已知ξ的概率分布为)321(3/1}{，，===i i P ξ，又设}max{ηξ，=X ，}min{ηξ，=Y 。（1）写出的概率分布；（2）求)(Y X ，EX 。
19．设r v ⋅4321X X X X ，，，独立同分布，且6.0}0{==i X P ，，，求行列式4.0}1{==i X P )4321(，，，=i X X X X X =1
34
2的概率分布。 20．设X 与Y 独立且分别服从参数为21λλ、的泊松分布，求Y X Z +=的分布律。 21．假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间
都服从参数为λ>0的指数分布，
当三个电子元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布。
22．设的分布密度为，求： ），（Y X ⎩
⎨⎧>>=+−其他，,000,),()2(y x Ae y x f y x （1）关于的边缘分布密度，并判断是否独立； Y X ，Y X ，（2）Y X Z 2+=的概率分布。
23.设二维随机变量的概率密度为，求： )(Y X ，⎩⎨
⎧<<<<=其他,020,10,1),(x y x y x f （1）的边缘概率密度，；
)(Y X ，)(x f X )(y f Y （2）Y X z −=2的概率密度；
)(z f Z （3）。
}2/1|2/1{≤≤X Y P 24．设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X ，Y )联合分布律及
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