概率论第⼗四章概率论初步重要知识点
第⼗四章概率论初步
第⼀节事件与概率
⼀、随机事件和样本空间
在研究⾃然界和⼈类社会时,⼈们可观察到各种现象,按它是否带有随机性将它们划分为两类。⼀类是在⼀定条件下必然会发⽣的现象,称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上,三⾓形的内⾓和⼀定为180o。另⼀类现象是在⼀定条件可能出现也可能不出现的现象,称这类现象为随机现象。例如掷⼀枚质地均匀的硬币时,它可能出现正⾯向上,也可能出现反⾯向上等。
对于随机现象的⼀次观察,可以看作是⼀次试验,如果某种试验满⾜以下条件:(1)试验可在相同条件下重复地进⾏;
(2)每次试验的结果可能不⽌⼀个,并且能事先确定试验的所有可能的结果; (3)每次试验的结果事先不可预测,称这种试验为随机试验。
随机试验的每⼀个可能的结果,称为基本事件,它们的全体,称作样本空间,通常⽤字母Ω表⽰。样本空间的元素即基本事件,有时也称作样本点,常⽤ω表⽰。例1、⼀次掷两颗骰⼦,观察每颗的点数
解:Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =
其中()j i ,表⽰第⼀颗掷出i 点,第⼆颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。例2、⼀个盒⼦中有⼗个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取⼀球, 解:令 {}
i i 取出球的号码为=
则}1021{、、、Λ=Ω
称样本空间Ω的某⼀⼦集为⼀个随机事件,简称事件,通常⽤⼤写英⽂字母A 、B 、C ……表⽰。
如在例2中, A={}
取出球的标号为奇数
因为Ω是所有基本事件所组成,因⽽在任⼀次试验中,必然要出现Ω中的某⼀些基本事件ω,即Ω∈ω,也即在试验中,Ω必然会发⽣,⼜⽤Ω来代表⼀个必然事件。相应地,空集φ可以看作是Ω的⼦集,在任意⼀次试验中,不可能有φω∈,即
φ永远不可能发⽣,所以φ是不可能事件。
n号房时间我们可⽤集合论的观点研究事件,事件之间的关系与运算如下:
(1)包含如果在⼀次试验中,事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣,则称事件B 包
含事件A ,记为B A ?
由例2,{}
5球的标号为=B ,则A B ?
(2)等价如果B A ?同时A B ?,则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
由例2, 若}97531
{、、、、C 球的标号为=,则A=C (3) 交事件 "事件A 与事件B 同时发⽣",这样的事件称为事件A 与事件B 的交(或
积),记作 B A I (或AB)
}5{球的标号为=C B I
将交事件推⼴到有限个或可列个事件的情形,称i n
i A 1
=I 为n 个事件n 、A 、
、A A Λ21的交事件,表⽰n 个事件同时发⽣;称i i A ∞
=1
I 为可列个事件ΛΛ、、A 、
、A A 21的交事件,表⽰可列个事件同时发⽣。
(4)并事件 "事件A 与事件B ⾄少有⼀个发⽣",这样的⼀个事件称作事件A 与B
的并,记作 B A Y
记 }3{≤=球的标号D , 则 }975321
{、、、、、D A 球的标号为=Y 同样将并事件推⼴到有限个或可列个事件的情形,称i n
i A 1=Y 为n 个事件
n 、A 、、A A Λ21 的并事件;称i i A ∞
=1
Y 为可列个事件ΛΛ、、A 、
、A A 21的并事件。(5)差事件 "事件A 发⽣⽽B 不发⽣",这样的事件称为事件A 与B 的差,记作B A - 。
}9731
{、、、B A 球的标号为=- (6)互不相容事件如果事件A 与B 不能同时发⽣,也即AB 是⼀个不可能事件,称
A 与
B 为互不相容事件,记为φ=B A I
记}4{球的标号为=E , 则A 与E 为互不相容事件
(7) 逆事件⼜称对⽴事件设事件A 与B ,如果φ=Ω=B ,A B A I Y , 则称B 为A 的逆事件或对⽴事件,或称
A 与B 互逆,B 也记为
A 。例3、设A 、
B 、
C 是Ω中的随机事件,则
事件"A 发⽣,B 、C 都不发⽣"可表为 C B A
"A 、B 都发⽣,C 不发⽣"可表为 C AB
"A 、B 、C 中⾄少有⼀个发⽣"可表为 C B A Y Y
"A 、B 、C 中不多于⼀个事件发⽣"可表为 C B A C B A C B A C B A Y Y Y "A 、B 、C 中⾄少有两个事件发⽣"可表为ABC BC A C B A C AB Y Y Y 事件运算满⾜如下规则:
(1)交换律 A B B A Y Y = , A B B A I I =
(2)结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y = , )()(C B A C B A I I I I = (3)分配律 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y = , )()()(C A B A C B A Y Y I Y I =
(4)De Morgan 定理(对偶原则)B A B A I Y = ,B A B A Y I =
推⼴到有限个和可列个的情形 i n
i i n
i A A 1
1
===I Y , i n
i i n
i A A 1
1
===Y I
=∞
==1
1
I Y , i i i i A A ∞
=∞
==1
1
Y I
事件是Ω的某些⼦集,如果把"是事件"的这些⼦集归在⼀起,则得到⼀个类,记作F ,称作事件域,即 },:{是事件A A A F Ω?=
⼆、随机事件的概率
定义1 随机事件A 发⽣可能性⼤⼩的度量(数值),称为A 发⽣的概率,
记作)(A p 。
概率具有下述性质:(1)⾮负性:任给F A ∈,10≤≤p ;(2)规范性:1)(=Ωp ;
(3)
可列可加性:任给F A i ∈,Λ、、i 21=且任意事件两两互不相容,有
)()(1
1
∑∞
=∞
==
i i
i i A p A p Y
由此可得到以下结论:
(1)0)(=φp ,即不可能事件的概率为0;
(2)有限可加性,若事件n 、A 、
、A A Λ21两两互不相容,则 )()(1
1∑===
n
i i
i n
i A p A p Y ;
(3)事件A 、B ,如果B A ?,则有)()()(A p B p A B p -=-,)()(B p A p ≤;(4)对任意事件A ,有 10≤≤p ;(5)对任意事件A ,有)(1)(A p A p -=
(6)对于任意事件A 、B ,有 )()()()(B A p B p A p B A p I Y -+= , )()()(B p A p B A p +≤Y 该公式也可推⼴到有限个事件,较复杂在此省略。
对于⼀个随机试验,如何寻求随机事件A 的概率)(A p 呢?
先讨论⼀类较为简单的随机试验,它具有两类共性:
(1)试验的所有可能结果只有有限个,即样本空间的元素(基本事件)为有
限个,}{21n 、、
、ωωωΛ=Ω,在⼀次试验中有且仅有其中的⼀个基本事件发⽣;
(2)试验中每个事件i ω)21(、n 、、i Λ=发⽣的可能性相等,
即)()()(21n p p p ωωω===Λ。
具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。
如果古典概型中的所有基本事件的个数是n ,事件A 包含的基本事件的个数是k ,则事件A 的概率为 )(A p = n
k
例4、盒内有5个双喜牌,3个双环牌乒乓球,从中任取2个,问两个都是双喜
牌的概率?
解:试验可能出现的结果共有282
8=C 种,
其中取得两个为双喜牌所包含的基本事件数为102
5=C 种
357.028
10
≈=
p 例5 、从5双不同的鞋⼦中任取4只,问这4只鞋⼦中⾄少有2只成双的概率是
多少?解:设A 为"4只鞋⼦中⾄少有两只成双"的事件,A 为"4只鞋⼦中没有成双"的事件,基本事件总数为4 10C 。
A 所包含基本事件数(先从5双中任取4双,再从抽出的4双中每双抽出1只)
共有4
5
4
2C ?种, 218
2)(4
10
454=?=C C A p 所以 21
13
2181)(1)(=
-
=-=A p A p 例6 、(分房问题)设有n 个⼈,每⼈都等可能地被分配到N 个房间中的任意⼀间去住)(N n ≤,求下列事件的概率(1)指定的n 个房间各有⼀个⼈住;(2)恰好有n 个房间,其中各住⼀个⼈。
解:因为每⼈有N 个房间可供选择,所以n 个⼈住的⽅式共有n
N 种,它们是等
可能的。
指定的n 个房间各有⼀个⼈住,其可能总数为n 个⼈的全排列!n ,n
N n p !
1=
; n 个房间可以在N 个房间中任意选取,有n
N C 种选法,
)!
(!
!2n n N N N n C p n
n n N -=?= 。例7、某班级有n 个⼈(365≤n ),问⾄少有两个⼈的⽣⽇在同⼀天的概率为多⼤?解:A 为事件"n 个⼈⾄少有两个⼈的⽣⽇相同",A 为事件"n 个⼈的⽣⽇全不相
同" )!
(!)(n N N N A p n -=
, )!(!
1)(1)(n N N N A p A p n --=-=,)365(=N
四、条件概率
1、条件概率
前⾯讨论了⼀些简单的概率,实际上存在很多复杂的概率问题,⽐如求在已知事件B 发⽣的条件下事件A 发⽣的概率,也记为求)|(B A p 。
例8、某班共有60名学⽣,其中有10名视⼒减退,⽽这10名学⽣中有6名轻度近视,4名⾼度近视,现在班上任点⼀名学⽣,问:(1)点到的学⽣恰为⾼度近视的概率;(2)已知点到的⼀名学⽣视⼒减退,该⽣是⾼度近视的概率。解:设为A"点到的学⽣⾼度近视"事件,为B"点到的学⽣势⼒减退"事件
(1) 15
1604)(==
A p (2) 5
2
104)|(==B A p
⼜ AB 为事件"点到的学⽣既是视⼒减退⼜是⾼度近视"
616010)(==
B p ,15
1604)(==AB p , )()
(60
1060452)|(B p AB p B A p ===