概率论第⼗四章概率论初步重要知识点
第⼗四章概率论初步
第⼀节事件与概率
⼀、随机事件和样本空间
在研究⾃然界和⼈类社会时，⼈们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。⼀类是在⼀定条件下必然会发⽣的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三⾓形的内⾓和⼀定为180o。另⼀类现象是在⼀定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷⼀枚质地均匀的硬币时，它可能出现正⾯向上，也可能出现反⾯向上等。
对于随机现象的⼀次观察，可以看作是⼀次试验，如果某种试验满⾜以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进⾏；
（2）每次试验的结果可能不⽌⼀个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通常⽤字母Ω表⽰。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常⽤ω表⽰。例1、⼀次掷两颗骰⼦，观察每颗的点数
解：Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =
其中()j i ，表⽰第⼀颗掷出i 点，第⼆颗掷出j 点，显然, Ω共有36个样本点。例2、⼀个盒⼦中有⼗个完全相同的球，分别标以号码1021、、、Λ从中任取⼀球, 解：令 {}
i i 取出球的号码为=
则}1021{、、、Λ=Ω
称样本空间Ω的某⼀⼦集为⼀个随机事件，简称事件，通常⽤⼤写英⽂字母A 、B 、C ……表⽰。
如在例2中， A={}
取出球的标号为奇数
因为Ω是所有基本事件所组成，因⽽在任⼀次试验中，必然要出现Ω中的某⼀些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发⽣，⼜⽤Ω来代表⼀个必然事件。相应地，空集φ可以看作是Ω的⼦集，在任意⼀次试验中，不可能有φω∈，即
φ永远不可能发⽣，所以φ是不可能事件。
n号房时间我们可⽤集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：
（1）包含如果在⼀次试验中，事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，则称事件B 包
含事件A ，记为B A ?
由例2，{}
5球的标号为=B ，则A B ?
（2）等价如果B A ?同时A B ?，则称事件A 与事件B 等价，记为A=B 。
由例2, 若}97531
{、、、、C 球的标号为=，则A=C (3) 交事件 "事件A 与事件B 同时发⽣"，这样的事件称为事件A 与事件B 的交(或
积)，记作 B A I (或AB)
}5{球的标号为=C B I
将交事件推⼴到有限个或可列个事件的情形，称i n
i A 1
=I 为n 个事件n 、A 、
、A A Λ21的交事件，表⽰n 个事件同时发⽣；称i i A ∞
=1
I 为可列个事件ΛΛ、、A 、
、A A 21的交事件，表⽰可列个事件同时发⽣。
（4）并事件 "事件A 与事件B ⾄少有⼀个发⽣"，这样的⼀个事件称作事件A 与B
的并，记作 B A Y
记 }3{≤=球的标号D , 则 }975321
{、、、、、D A 球的标号为=Y 同样将并事件推⼴到有限个或可列个事件的情形，称i n
i A 1=Y 为n 个事件
n 、A 、、A A Λ21 的并事件；称i i A ∞
=1
Y 为可列个事件ΛΛ、、A 、
、A A 21的并事件。（5）差事件 "事件A 发⽣⽽B 不发⽣"，这样的事件称为事件A 与B 的差，记作B A - 。
}9731
{、、、B A 球的标号为=- （6）互不相容事件如果事件A 与B 不能同时发⽣，也即AB 是⼀个不可能事件，称
A 与
B 为互不相容事件，记为φ=B A I
记}4{球的标号为=E , 则A 与E 为互不相容事件
(7) 逆事件⼜称对⽴事件设事件A 与B ，如果φ=Ω=B ，A B A I Y , 则称B 为A 的逆事件或对⽴事件，或称
A 与B 互逆，B 也记为
A 。例3、设A 、
B 、
C 是Ω中的随机事件，则
事件"A 发⽣，B 、C 都不发⽣"可表为 C B A
"A 、B 都发⽣，C 不发⽣"可表为 C AB
"A 、B 、C 中⾄少有⼀个发⽣"可表为 C B A Y Y
"A 、B 、C 中不多于⼀个事件发⽣"可表为 C B A C B A C B A C B A Y Y Y "A 、B 、C 中⾄少有两个事件发⽣"可表为ABC BC A C B A C AB Y Y Y 事件运算满⾜如下规则：
（1）交换律 A B B A Y Y = ， A B B A I I =
（2）结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y = ， )()(C B A C B A I I I I = （3）分配律 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y = ， )()()(C A B A C B A Y Y I Y I =
（4）De Morgan 定理（对偶原则）B A B A I Y = ，B A B A Y I =
推⼴到有限个和可列个的情形 i n
i i n
i A A 1
1
===I Y ， i n
i i n
i A A 1
1
===Y I
=∞
==1
1
I Y ， i i i i A A ∞
=∞
==1
1
Y I
事件是Ω的某些⼦集，如果把"是事件"的这些⼦集归在⼀起，则得到⼀个类，记作F ，称作事件域，即 },:{是事件A A A F Ω?=
⼆、随机事件的概率
定义1 随机事件A 发⽣可能性⼤⼩的度量（数值），称为A 发⽣的概率,
记作)(A p 。
概率具有下述性质：（1）⾮负性：任给F A ∈，10≤≤p ；（2）规范性：1)(=Ωp ；
（3）
可列可加性：任给F A i ∈，Λ、、i 21=且任意事件两两互不相容，有
)()(1
1
∑∞
=∞
==
i i
i i A p A p Y
由此可得到以下结论：
（1）0)(=φp ，即不可能事件的概率为0；
（2）有限可加性，若事件n 、A 、
、A A Λ21两两互不相容，则 )()(1
1∑===
n
i i
i n
i A p A p Y ；
（3）事件A 、B ，如果B A ?，则有)()()(A p B p A B p -=-，)()(B p A p ≤；（4）对任意事件A ，有 10≤≤p ；（5）对任意事件A ，有)(1)(A p A p -=
（6）对于任意事件A 、B ，有 )()()()(B A p B p A p B A p I Y -+= ， )()()(B p A p B A p +≤Y 该公式也可推⼴到有限个事件，较复杂在此省略。
对于⼀个随机试验，如何寻求随机事件A 的概率)(A p 呢？
先讨论⼀类较为简单的随机试验，它具有两类共性：
（1）试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间的元素（基本事件）为有
限个，}{21n 、、
、ωωωΛ=Ω，在⼀次试验中有且仅有其中的⼀个基本事件发⽣；
（2）试验中每个事件i ω)21(、n 、、i Λ=发⽣的可能性相等，
即)()()(21n p p p ωωω===Λ。
具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。
如果古典概型中的所有基本事件的个数是n ，事件A 包含的基本事件的个数是k ，则事件A 的概率为 )(A p = n
k
例4、盒内有5个双喜牌，3个双环牌乒乓球，从中任取2个，问两个都是双喜
牌的概率？
解：试验可能出现的结果共有282
8=C 种，
其中取得两个为双喜牌所包含的基本事件数为102
5=C 种
357.028
10
≈=
p 例5 、从5双不同的鞋⼦中任取4只，问这4只鞋⼦中⾄少有2只成双的概率是
多少？解：设A 为"4只鞋⼦中⾄少有两只成双"的事件，A 为"4只鞋⼦中没有成双"的事件，基本事件总数为4 10C 。
A 所包含基本事件数（先从5双中任取4双，再从抽出的4双中每双抽出1只）
共有4
5
4
2C ?种， 218
2)(4
10
454=?=C C A p 所以 21
13
2181)(1)(=
-
=-=A p A p 例6 、（分房问题）设有n 个⼈，每⼈都等可能地被分配到N 个房间中的任意⼀间去住)(N n ≤，求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有⼀个⼈住；（2）恰好有n 个房间，其中各住⼀个⼈。
解：因为每⼈有N 个房间可供选择，所以n 个⼈住的⽅式共有n
N 种，它们是等
可能的。
指定的n 个房间各有⼀个⼈住，其可能总数为n 个⼈的全排列!n ，n
N n p !
1=
； n 个房间可以在N 个房间中任意选取，有n
N C 种选法，
)!
(!
!2n n N N N n C p n
n n N -=?= 。例7、某班级有n 个⼈（365≤n ），问⾄少有两个⼈的⽣⽇在同⼀天的概率为多⼤？解：A 为事件"n 个⼈⾄少有两个⼈的⽣⽇相同"，A 为事件"n 个⼈的⽣⽇全不相
同" )!
(!)(n N N N A p n -=
， )!(!
1)(1)(n N N N A p A p n --=-=，)365(=N
四、条件概率
1、条件概率
前⾯讨论了⼀些简单的概率，实际上存在很多复杂的概率问题，⽐如求在已知事件B 发⽣的条件下事件A 发⽣的概率，也记为求)|(B A p 。
例8、某班共有60名学⽣，其中有10名视⼒减退，⽽这10名学⽣中有6名轻度近视，4名⾼度近视，现在班上任点⼀名学⽣，问：（1）点到的学⽣恰为⾼度近视的概率；（2）已知点到的⼀名学⽣视⼒减退，该⽣是⾼度近视的概率。解：设为A"点到的学⽣⾼度近视"事件，为B"点到的学⽣势⼒减退"事件
（1） 15
1604)(==
A p (2) 5
2
104)|(==B A p
⼜ AB 为事件"点到的学⽣既是视⼒减退⼜是⾼度近视"
616010)(==
B p ，15
1604)(==AB p ， )()
(60
1060452)|(B p AB p B A p ===