2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
棱锥的体积1
3
V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．
．1.已知集合{}1
23A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为▲．
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为▲．
3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为▲．
4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为
▲
．
5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜不同的概率为▲．
6.已知向量()21a = ，，()2a =- 1，，若()()98ma nb mn R +=-∈
，，
则m-n 的值为▲．
7.不等式22
4x x
-<；的解集为
▲．
8.已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=
，则tan β的值为▲
．
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们
重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为▲．10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
▲
．
注意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试
时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4．作答试题必须用0.5毫米黑墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*2015年江苏高考
N n ∈），则数列}1
{
n
a 的前10项和为▲．
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12
2=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线
01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为
▲．
13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1
,2|4|1
0,0)(2
x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为
▲
．
14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k π
ππ，则∑=+⋅12
1)(k k k a a 的值
为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）
在△ABC 中，已知2,3,60.AB AC A ===o
(1)求BC 的长；（2）求sin 2C 的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，
11.
B C BC E ⋂=求证：（1）11//DE AACC 平面(2)11
BC AB ⊥
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条
公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，
，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，
的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，
的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2
a
y x b
=
+（其中a ，b 为常数）模型.（I ）求a ，b 的值；
（II ）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；
②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.
18、（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22
，且右焦点F
到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.
已知函数),()(2
3
R b a b ax x x f ∈++=。（1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2
3()23
,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值。
20、（本小题满分16分）
设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a
a
a
a
依次成等比数列
（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由
（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证：ABD ∆∽AEB
∆B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣
⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及
它的另一个特征值。
★此卷上交考点保存★
姓名
准考证号
注
意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30
分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4．作答试题必须用0.5毫米黑墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
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