华师大版七年级上册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
有理数的意义
   
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：  （2）按正数、负数与0的关系分类：　
  　                 
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数   
1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（  ）
A．支出20元      B．收入20元      C．支出80元      D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【有理数的意义  356786  概念的应用例3（1）】
【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（  ）
A．50.0千克    B．50.3千克    C．49.7千克    D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
　        (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（  ）．
  A．－20m   　B．－40m   　C．20m   　D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1） 这8名男生有百分之几达到标准？
（2） 他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
      （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
【有理数的意义  356786  概念的应用例2】
3．下面说法中正确的是(    )．
A． 非负数一定是正数．
B． 有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．       
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ）  （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（  ）
（3）整数又叫自然数.（ ）  （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（  ） 
【答案】√，  ，，
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
  (A)所有的正数都是整数       (B)不是正数的数一定是负数
  (C)正有理数包括整数和分数    (D)0不是最小的有理数
【答案】D
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
      1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,  ， .
      正整数集合:{     　…}，  负整数集合:{    　 …}，
      整数集合:{    　 …}，    正分数集合初一数学练习题:{    …}， 
负分数集合:{      …}，分数集合:{     　…}，
非负数集合：{      …}，非正数集合：{     　…}.
【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
  负分数： -3.88，；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；
非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；
非正数：-700, -3.88, 0,
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有  个．