习题四
4-1 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是多少？
解  5光年是在地球上测得的原长，由于此长度相对宇航员也是高速运动的，所以他测得收缩了的长度为3光年. 即
3=火箭相对于地球的速度应为
45
u c =
4-2 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m.. （1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？
（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处.那么这
两位观察者相距多远？ （3）宇航员测得两位观察者相距多远？
解（1
）56.4(m)l l ===
（2）这两位观察者需同时测量飞船首、尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m.
（3）地面上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为
7.96(m)l l ===
所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m.
4-3  已知π介子在其静止系中的半衰期为8
1.810s -⨯。今有一束π介子以0.8u c =的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当π介子衰变一半时飞越了多长的距离？
解：在π介子的静止系中，半衰期8
0  1.810s t -∆=⨯是本征时间。由时间膨胀效应，实验室
参考系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为
8310s t -∆=
=⨯
因而飞行距离为
7.2m d u t =∆=
4-4  在某惯性系K 中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s 。已知在另一惯性系'K 中，
该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？
解：在K系中，
04s
t∆=为本征时间，在'K系中的时间间隔为6s
t∆=两者的关系为
t∆==
所以
2
5
9
β=
故两惯性系的相对速度为
81
10m s
u c
β-
==⋅
由洛伦兹变换，'
K系中两事件的空间间隔为
)
k k
x x u t
'
∆=∆+∆
两件事在K系中发生在同一地点，因此有0
k
x∆=，故
8
10m
k
x
'
∆==
4-5 惯性系'K相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时
起点。在K系中测得两事件的时空坐标分别为44
11
610m,210s
x t-
=⨯=⨯以及
44
22
1210m,110s
x t-
=⨯=⨯，已知在'K系中测得该两事件同时发生。试问：
（1）'
K系相对K系的速度是多少？
（2）'
K系中测得的两事件的空间间隔是多少？
解：（1）设'
K系相对K系的速度为u，由洛伦兹变换，'
K系中测得两事件的时间为
111
2
222
2
'
'
u
t t x
c
u
t t x
c
⎫
=-⎪
⎭
⎫
=-⎪
⎭
由题意
12
''0
t t-=
所以
2121
2
()
u
t t x x
c
-=-
因此有
281
21
21
1.510(m s)
2
t t c
u c
x x
-
-
==-=-⨯⋅
-
其中负号表示'K 系沿K 系的x -方向运动。
（2）由洛伦兹变换，'K 系中测得的两事件的空间位置为
111222')
')
x x ut x x ut =
-=
-
故空间间隔为
]4212121''()()  5.210m x x x x u t t -=
---=⨯ 4-6 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以c 8.0的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度.
解  飞船A 相对于飞船B 的速度为                    2
2()0.80.80.976()10.81u c c
c u c c
--+'=
==-+-v v v
4-7  静止在K 系中的观察者测得一光子沿与x 轴成60°角的方向飞行，另一观察者静止于
'K 系中，'K 系相对K 系以0.6c 的速度沿x 轴方向运动，试问'K 系中的观察者测得的光
子运动方向是怎样的？
解：已知'K 系相对K 系的速度为0.6u c =，光子速度为c ，在K 系中的运动方向为与x 轴成60°角，因此该光子在K
系中的速度为0.5,/2,0x y z c ===v v v 。所以在'K 系中光子的运动速度为
2221
'71'1'01x x x y x z x
u c u c
c c
-=
=--=
=-=
=-v v v v v v v
令该光子在'K 系中的运动方向与x 轴成θ角，则有
'tg 'y x
θ=
=-v v
98.2θ∴≈︒
4-8
μ子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命80210s τ-=⨯，若它在
实验室参考系中的平均寿命8
710s τ-=⨯，试问其质量是电子静止质量的多少倍？
解：设μ子在实验室参考系中的速度为u 、质量为m ，依题意有
τ=
一光年等于多少年将ττ0和的值代入得
027
ττ==
当μ子速度为u 时其质量为
077
207724.52
2e e m m m m =
==⨯=
4-9  一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几？
解：设物体速度为u 、质量为m 、长度为L ，静止质量和长度分别为0m 和0L ，依题意有
01.1m m =
=
所以
01
1.1
m m ==
因此，根据长度收缩效应有
00190.9%1.1
L L L L ===
所以在运动方向上缩短了
09.1%L L ∆=
4-10  一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少（电子的静能为0.511MeV .）？
解：设电子速度为u 、质量为m ，静止质量为0m ，所加的电位差为U 。依题意有
01.04m m =
=
所以此时电子的速度为
0.275u c =
根据能量守恒，有
220m c eU mc +=
所以
42.04410V U =⨯
4-11  已知一粒子的动能等于其静止能量的n 倍，试求该粒子的速率。
解：依题意有
0k E nE =
所以其质量与静止质量之比为
20
2000
1k E E m mc n m m c E +===+ 根据相对论质量与速度的关系有
m =
所以该粒子的速度为
u =
4-12．一个电子的运动速度c 99.0=v ，它的动能是多少？（电子的静止能量为0.51Mev ）
解  由相对论质速关系
m =
相对论动能为
2
22
2k 00E mc m c m c =-=
-
已知静止能量2
0c m 为0.51Mev ，电子运动速度0.99u c =，代入上式得
Mev 1.3k =E
4-13 一立方体的质量和体积分别为0m 和0V ，求立方体沿其一棱方向以速度u 运动时的体积和密度．
解 以观察者为K 系，运动的立方体为'K 系。设立方体沿x 方向运动，一条棱边平行于x 轴。
设在'K 系中立方体的长、宽、高均为a ，在K 系看立方体在x 方向上的边长为