联系小学统计知识，理解初中统计概念
——《方差和标准差》衔接教学案例
一、背景分析
浙教版初中数学八年级下册第三章《数据分析初步》的第三节为《方差和标准差》。本节教学内容主要介绍了两个非常重要的统计学概念——方差和标准差。方差和标准差都反映了数据的离散程度。学生在小学阶段已经学习过一些统计学知识，学生在小学数学中所学的统计学知识相对比较简单，其包括了收集数据（调查、实验、查资料等）、整理并描述数据（统计表、统计图等）、分析数据（比较数据、趋势分析等）。小学所学的统计学知识在浙教版初中数学七年级下册的第6章《数据与统计图表》一章已经进行了复习并强化。在《方差和标准差》一节的教学中，可以默认学生具备了简单的统计学基础知识，但是他们对统计学中抽象的概念还知之甚少。本节所学的方差和标准差就比较抽象，学生学习起来有一定难度。为了帮助学生建构对方差和标准差的理解，教师不能忽视学生已有的统计学基础知识，必须进行衔接教学。本次衔接教学，不仅仅是和初一所学的内容进行衔接，更为重要的是和小学所学过的统计学知识进行衔接。
二、衔接分析
1.教学目标
本节课主要实现五个教学目标，分别为：（1）体验方差概念的产生过程；（2）理解方差的定义和计算公式；（3）会使用方差公式比较两组数据的离散程度；（4）理解标准差的概念和计算公式；（5）会使用标准差公式来比较两组数据的离散程度。在这五个教学目标中，（1）和（4）是核心。只有学生在理解方差和标准差概念的产生过程的基础上，才可能利用方差和标准差的计算公式来分析数据的离散程度。因而，本节课在教学目标上的衔接主要集中在实现教学目标（1）和（4）上。
2.教学内容
本节课的主要教学内容有两点，分别为方差的概念和计算公式、标准差的概念和计算公式。方差和标准差来源于人们对离散数据的离散程度的分析需要，在统计学中具有重要的意义。由于这两个概念的形成过程相对比较抽象，学生难以理解。如果教师不能积极地引导学生从理解方差和标准差概念的形成过程来学习本节内容，他们肯定难以真正掌握这两个概念。在
实施教学内容的教学时，教师在注意衔接的基础上，要对这两个概念进行适当的应用，以强化学生对这两个概念的认知。
3.教学方法
在《方程和标准差》的教学中，将采用体验、讨论等教学方法。将提供一些数据让学生进行分析。在分析过程中，学生会遇到一定困难，为了解决困难，必须引入方差和标准差的概念。由于方差和标准差概念比较抽象，将提供一些统计学的图形工具，让学生借助直观形象的图形工具来感受引入方差和标准差的必要性。在得到方差和标准差的概念过程中，将引导学生进行讨论，以借助学生间的思维激荡，来促进学生思考，更好地帮助学生建构对方差和标准差的理解。
三、教学片断
这节课的教学内容是《方差和标准差》，我按部就班地使用课件展示情境问题：“学校将要选拔一名学生去参加市里面举行的中学生射击比赛。学校将从小明和小兵两人中选取一人参加比赛，因而对他们进行了一次射击测试。两人一共射击10次，射击的成绩如下表所示。你们能不能根据以前所学的数学知识，选择一名同学去参加市里面的比赛。”
小明的成绩
7
7
6
8
6
5
9
10
7
5
小兵的成绩
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
这个真实情境问题显然激发了学生的兴趣，学生们议论纷纷。我让一名学生说一说他的看法。学生说：“我们在小学中就学过平均值，我们可以算出平均成绩，选择平均成绩比较好的选手去参加市里面的比赛。”我让学生们计算，很快学生计算出结果，结果为：小明的平均成绩为7（环），小兵的平均成绩为7（环）。我说：“你们能不能从平均成绩中看出谁的水平比较好？”学生纷纷回答：“不能。”
我乘机提出引导问题：“你们觉得射击运动员在比赛中追求的是哪些素质？”学生们都认为射击运动员需要准和稳。我说：“对于准，这两名运动员的平均成绩都是7环，准度基本一样。那么我们怎么才能判断哪位运动员发挥比较稳定呢？”学生乙说：“如果射击运动员的成绩相对于平均成绩没有较大的起落，可以认为该名射击运动员的成绩比较稳定。”我说：“我们仅仅从数据中难以判断哪一位运动员比较稳定，怎么办呢？”
这个问题比较难，本来我准备直接说出采用折线图。但是有学生在下面说：“我们可以使用图形，图形比较直观。”学生在小学的统计图学习中就已经知道图形的直观性了。我灵机一动：“对的，你们从小学开始就学习各种统计图形了，那么你们认为哪一种图形可以胜任解决这个问题呢？”有的学生对直方图印象比较深刻，认为可以采用直方图；有的学生对折线图印
象比较深刻，认为可以采用折线图。我没有作评论，而是使用电脑中的Excel绘制两名运动员射击成绩的直方图和折线图。
我问学生：“你们觉得哪一个统计图更能够直观地反映两种数据的变化趋势。”学生一起回答：
“折线图。”显然，学生从两个图的对比中发现了折线图在解决这个问题中的优势。我进一步提问：“从折线图中可以看出小兵的射击成绩比较稳定。那么我们能不能使用数据来精确地表示两名射击运动员的射击成绩的稳定程度呢？”学生又一次议论起来。有学生说：“我们可以算出每一个数据与平均数的差，然后对这些差进行累加。根据累加的结果判断两名运动员成绩的稳定程度。”我带领学生求出每一个数据与平均数的差，并填在表格里面，得到了一个小学时所学的比较复杂的复式统计表。学生通过观察数据发现每次成绩与平均数之差的和为0。根本无法判断小明和小兵谁的射击成绩比较稳定。
小明
每次成绩
7
7
6
8
6
5
9
10
7
5
与平均数差
0
0
-1
1
-1
-2
2
3
0
-2
小兵
每次成绩
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
与平均数差
2
-2
0
1
0
-1
1
-1
0
0
我问学生：“为什么会出现这种现象？”学生通过对数据表的观察和思考后回答：“因为每一个数据和平均数的差值有正有负，正负刚好抵消了，所得结果为0。”我追问：“有没有办法避免这种状况？”学生回答：“可以将所有的与平均数差值取绝对值，再去求和。”我将表格中的每
一个数据与平均数的差值取绝对值，使其都变为正数。将与平均数的差值求和得：小明为12，小兵为8。显然小兵的成绩比较稳定。
小明
每次成绩
7
7
6
8
6
5
9
10
7
5
与平均数差
0
0
1
1
1
2
2
3
0
2
小兵
每次成绩
9
5
7
8
7标准差怎么算
6
8
6
7
7
与平均数差
2
2
0
1
0
1
1
1
0
0
我再将表格中的数据进行适当的修改。
小明
每次成绩
7
7
6
8
6
5
9
与平均数差
0
0
1
1
1
2
2
小兵
每次成绩
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
与平均数差
2
2
0
1
0
1
1
1
0
0
我问学生：“如果小明只进行了7次射击测试，而小兵进行了10次射击测试。将每一个数据与平均数的差值求和为：小明是7，小兵是8。这样显然不能对两人的稳定性进行比较。有没有
解决的方法？”学生回答：“可以取平均值。”显然学生对小学时所学的平均值比较熟悉。我接着引导：“取平均值可以解决这个问题，但是这样做其中存在绝对值，非常不利于代数运算，有没有其他方法避免取绝对值呢？”
我给学生五分钟的讨论时间，最终学生都认为可以使用平方之和。我表扬学生：“真棒！这样就可以避免上述所有问题了。”我在黑板上写上“方差”两个大字，并写出方差的计算公式。到这里，学生已经明白了方差的来源。
我指出方差的数学意义：“方差越大，说明数据的波动性越大大，越不稳定。”我接着引导：“我们可以看到，如果使用方差进行计算，方差的单位是数据单位的平方，两者的单位不一样，怎么才能使两者的单位一致呢？”学生回答：“方差是将每一个数据与平均值之差平方得到的，如果计算方差的算术平方根，可以使其单位和数据的单位一致。”我在黑板上板书“标准差”三个大字，并写出标准差的计算公式。显然，经历过体验方差概念的形成过程，学生对标准差的来源也手到擒来了。
最后，我展示一道问题：“请计算数据-2、-1、0、3、5的方差和标准差。”
给予学生五分钟时间进行计算。
四、教学反思
《方差和标准差》一节介绍了方差和标准差这两个概念，这两个概念反映了数据的离散程度（即波动程度）。由于教材上对这两个概念的来源介绍得并不十分详细。如果仅仅按照教材上讲解，学生只能初步了解方差和标准差的统计意义，但是对这方差和标准差的计算公式的形成过程并不理解，无法让学生理解数学概念中数学思想和数学方法。在本次教学中，我采用了体验与讨论的方式，逐步将方差和标准差的计算方法总结出来。在得到方差和标准差计算公式的过程中，学生也理解了方差和标准差的数学意义。
在本次教学中，在学生的自我发现过程中，使用了前面所学过的复式统计表、折线图等工具。有些内容是小学所学的，有些内容是七年级所学的。通过与前面内容的衔接教学，不仅仅让学生强化了对以前所学知识的理解，还让学生对以前所学知识的适用范围进行了确定。
在本次教学中，还存在着一些不足，比如需要应用到以前所学统计学知识时，学生明显需要一定回忆时间。如果能够主动地进行复习，可以减少学生的回忆时间，使课堂教学更加流畅。