奇妙的数学大世界
前言：美妙的数
长期以来，一个令人困惑的现象是：一些同学视数学如畏途，兴趣淡漠，导致数学成绩普遍低于其他学科。
这使一些教师、家长以至专家、学者大伤脑筋！
―兴趣是最好的老师。‖对任何事物，只有有了兴趣，才能产生学习钻研的动机。兴趣是打开科学大门的钥匙。
对数学不感兴趣的根本原因是没有体会到蕴含于数学之中的奇趣和美妙。
一个美学家说：―美，只要人感受到它，它就存在，不被人感受到，它就不存在。‖对数学的认识也是这样。有人说：―数学真枯燥，十个数字来回转，＋、－、×、÷反复用，真乏味！‖有人却说：―数学真美好，十个数字颠来倒，变化无穷最奇妙！‖认为枯燥，是对数学的误解；感到了兴趣，才能体会到数学的奥妙。
其实，数学确实是个最富有魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。
尽管语文的优美词语能令人陶醉，历史的悲壮故事能催人振奋，然而，数学的逻辑力量却可以使任何金刚大汉为之折服，数学的浓厚趣味能使任何年龄的人们为之倾倒！茫茫宇宙，浩浩江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。
数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒。
因为它美，才更有趣，因为它趣，才更显得美。美和趣的和谐结合，便出现了种种奇妙。
这也许正是历史上许许多多的科学家、艺术家，同时也钟情于数学的原因吧！
数学以它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。
一、数学的趣味
数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。数学的趣味美，体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其他学科望尘莫及的。
揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数的面纱，令人惊诧；观看了数字波涛、数字漩涡令人感叹！一个个数字，非但毫不枯燥，而且生机勃勃，鲜活亮丽！
根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学游戏，是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化！
各种变化多端的奇妙图形，赏心悦目；各种扑朔迷离的符形数谜，牵魂系梦；图形式题的巧解妙算，启人心扉，令人赞叹！
魔幻谜题，运用科学思维，―弹子会告密‖、―卡片能说话‖，能知你姓氏，知你出生年月，甚至能窥见你脑中所想，心中所思真是奇趣玄妙，鬼斧神工。面对这样一些饶有兴味的问题，怎能说数学枯燥乏味呢？
二、数学的形象
黑格尔说：―美只能在形象中出现。‖谈到形象美，一些人便联想到文学、艺术，如影视、雕塑、绘画，等等。似乎数学只是抽象的孪生兄弟。其实不然。
数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚丽
画面。
数字美：阿拉伯数字本身便有着极美的形象：1字像小棒，2字像小
鸭，3字像耳朵，4字像小旗……瞧，多么生动。
符号美：―=‖(等于号)两条同样长短的平行线，表达了运算结果的唯
一性，体现了数学科学的清晰与精确。―≈‖(约等于号)是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧。―＞‖(大于号)、―＜‖(小于号)，一个一端收紧，一个一端张开，形象地表明两量之间的大小关系。{[( )]}(大、中、小括号)形象地表明了内外、先后的区别，体现对称、收放的内涵特征。
线条美：看到―⊥‖(垂直线条)，我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到―—‖(水平线条)，我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到―～‖(曲线线条)，我们想起了波涛滚滚的河水，给我们的是流动感。
几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目。
三角形的稳定性，平行四边形的变态性，圆蕴含的广阔性都给人以无限遐想。
脱式运算的―收网式‖变形以及统计图表，则是数与形的完美结合。我国古代的太极图，把平面与立体、静止与旋转，数字与图形，更做了高度的概括！
三、数学的简洁
数学科学的严谨性，决定它必须精炼、准确，因而简洁美是数学
的又一特。
数学的简洁美表现在：
1.定义、规律叙述的高度浓缩性，使它的语言精炼到―一字千金‖
的程度。质数的定义是―只有1和它本身两个约数的数‖，若丢掉―只‖字，便荒谬绝伦；小数性质中―小数末尾的0……‖中的―末尾‖若说成―后面‖，便―失之千里‖。此种例证不胜枚举。
2.公式、法则的高度概括性一道公式可以解无数道题目，一条法则囊括了万千事例。三角形的面积=底×高÷2。把一切类型的三角形(直角的、钝角的、锐角的；等边的、等腰的、不等边的)都概括无遗。―数位对齐，个位加起，逢十进一‖把各种整数相加方法，全部包容了进去。
3.符号语言的广泛适用性数字符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面。
a＋b=b＋a，a×b×c＝a×c×b=b×c×a……(其中a，b，c可以是任何整数、小数或分数)。
S=(a+b)h×1/2，适用于各种形状梯形面积的求解。
a×b=a÷(1/b)，a÷b=a×(1/b)，表达了乘与除相互转化的关系，反映了事物的对立统一。
πR2－πr2=π(R＋r)•(R－r)，环形面积的多解性便富含其中。
(πr2－2r2)÷2r2=(π－2)÷2=57％，则表明：―圆中方‖剪去部分与正方形面积间的固有联系。所以，这些用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍规律，简洁，明了，易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。
四、数学的对称
对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心对称图形，幻方、数阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。略举几例：算式：2∶3=4∶6；x＋5=17－9 数阵：
图形：数学概念竟然也是一分为二地成对出现的：―整—分，奇—偶，和—差，曲—直，方—圆，分解—组合，平行—交叉，正比例—反比例……，显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。
数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学
之美还不仅于此，它贯穿于数学的方方面面。数
学的研究对象是数、形、式，数的美，形的美，
式的美，随处可见。它的表现形式，不仅有对称
美，还有比例美、和谐美，甚至数学的本身也存
在着题目美、解法美和结论美。
上述这些只是浮光掠影的介绍，然而，也足
见数学的迷人风采了。打开这本书，如同进入一个奇妙世
界，呈现眼前的尽是数、形变幻的奇妙景观，一个个―枯燥‖
的数字活蹦乱跳地为你做精彩表演，一个个―抽象‖的概念娓
娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数
学秘密，展示了数学迷宫的绚丽多彩。数的变幻，形的奇
妙，有的令你追根究底，有的令你流连忘返，有的令你惊
讶感叹，有的令你拍案叫绝……
走进这个奇妙世界，必将如咀嚼一枚橄榄果，品尝到
数学的浓浓趣味，感受到数学王国神异高妙，从而使我们眼界大开。你将惊呼：―哇！数学原来是这么有趣啊！‖
五、数字花絮
十个阿拉伯数字，像五彩缤纷的花絮。四种运算符号+、－、×、÷，如变幻多姿的魔棒。数字与符号的组合分化，则构建一道道迷人的风景线，它牵动着多少智者的神经，激荡起几多想象和思考。
一代代人的耕耘培育，使数学园地繁花似锦，光彩夺目。这里的每一个数字都是一朵彩的花瓣，这里的每一道问题都诱发出迷人的魅力。
一些题隐去了数字，只呈现一片虚幻的空白。每一块空白又都是一个等待回答的问号，扑朔迷离，直令人魂牵梦绕。
再没有比―悬念‖更能激发思考了！空白虚幻之中却又隐藏种种技巧。数字趣题虽没有像应用题、故事或游戏趣题那样的事件、情节，往往只透露一点点信息，却要求从已知的点滴信息中，推出它的整体面貌。
它像一团雾，像一个谜，虽然一时看不清，抓不住，却又有着实实在在的答案。这样，就更加激人深思，引人思考。一经入目，必欲弄个水落石出。数字趣题中，有的是在一个算式中只保留部分数字，而将另一些数字隐去，只用―□‖、―☆‖或其他文字符号来替代。要求根据已有的数字，运用分析、推理，将被隐去的数字复原，使算式完整，成立。这种趣题，在我国古代称为―虫蚀算‖，意思是，本来很完整的算式，被书虫啃蚀了，因而，数字便残缺不全。有的只提供一些数字，要求添加运算符号或巧妙组合，使它们符合规定的条件。
有的是通过数字的排列组合出现一些奇妙的有规律的现象。如幻方、数阵，它们纵横或周边，在同一直线上的各个数字之和，都为同一数值，奇幻迷人。
六、数字趣题
依其表现形式，常见的有以下数种：（一）、竖式谜；（二）、横式谜；（三）、填空谜；（四）、幻方；（五）、数阵。
解数字谜，要根据四则运算的法则、规律，对照已知条件，理清数与数间的内在联系，先易后难，由此及彼，使被隐去或要求填写的数字，一个一个地暴露出来。从而拨开迷雾，显出―庐山真面目‖。幻方和数阵的制作，则更有一套独特的方法。
解数字趣题，如同侦察员破案一样，开始如理乱麻，渐渐便理清线索，继而顺藤摸瓜，最终便真相大白了！
（一）竖式谜
在加、减、乘、除四则运算中，比较复杂的题目，都要先列竖式进行演算。
常见的竖式，都是单纯的求和或差或积或商。竖式谜，却只提供不完全的条件。有时给出几个或一个数字，隐去了其他各数；有时一个数字也没有，只用―□‖或―★‖等特殊符号，把竖式的框架显示出来。
这种竖式看上去像一团迷雾，扑朔迷离，简直是个没解开的谜。只有熟练算法、算理，根据已提供的点滴信息，分析、推理，顺藤摸瓜，才能使一个个隐去的数字重新出现。
解加、减法的竖式谜，主要根据进位、退位情况，进行分析、判断。乘、除法，除了考虑进、退位问题，还要根据乘、除法的法则，认真推敲。一般要先将容易出的数字填出来，这样，未知数的范围便越来越小，最终便可出全部隐藏的数字。
解数字谜，如同侦察员破案一样，新奇，有趣。
例1解：加数都是两位数，从第一个加数个位是5与和的个位数是9，可以推断第二个加数的个位数必定
是4。即5+？=9。从和的百位数与十位数是18，可断定，两个加数的十位数都是9，这样，谜便揭开了。
例2解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是7、5，而和的个位却是8，肯定是进位造成的。从7+5+？=□8，可判断另一个加数的个位必为6，十位上5+□+7=□7，可断定：□加上个位进上来的1是5，去掉进上来的1应是4。百位上2+□=6，可知：□=4，去掉进上来的1，□=3。
例1 例2
例3解：这个减法算式，只告知了减数是1，被减数、减数都不知道！全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。但是认真分析一下减法算式各部分的数位，便可以到突破口。被减数有四位，减去1后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。那么，什么数减去1需要向高位借数呢？只有―0‖！而最高位退1后成了0，表明被减数的最高位就是―1‖。这样，就可以断定被减数是1000。知道了被减数和减数，差就迎刃而解了！
例4解：个位上，被减数是7，差是6，可知减数是1。十位上，减数是8，差是9，可知被减数必小于8，借位后才使差比减数大的。那么，？－8=9，可知被减数十位上是7。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是9，从而断定，被减数的百位上是0，千位上必定是1了。
例3 例4
例5解：这是个三位数与一位数相乘的算式。被乘数只知道十位数是2，积只知道个位数是2，乘数是7，其余都是未知数！但是从个位的一个数与7相乘，积的个位数是2，可推断被乘数的个位数只能是6。6×7=42，十位上进4。被乘数的十位数是2，20×7=140，加上进位的4，积的十位应是8，进位1。从积是三位数，可断定被乘数的百位数必为1(因为若大于1，积则为四位数了！)，1×7=7，加上进上来的1，积的百位数便是8了。
例6解：这是个四位数与两位数相乘的算式。从乘数的个位数9和部分积个位是7，可推知被乘数的个位是3，进2。据此，推知被乘数的十位是8，8×9=72，加上进位2，才符合积的十位数得4的要求。再根据积的百位数是5，推知被乘数百位是2，2×9=18，加上进位7，得5，进2。继而推知被乘数千位是5，5×9
=45，加上进位2，才可得积的千位数7。从被乘数是5283和第二部分积中的5，可以推断乘数的十位数，因为被乘数的前两位是5、2，经过尝试，乘数的十位数只能是3。至此，其他各数字，便容易得出了！
例5 例6
例7解：为了分析，我们将题中的关键位臵用字母标出。算式中，只有被乘数与2的积是四位数，与A、B的积都仍是三位，从而断定A=B=1。以此为突破口，再追寻其他。其中，部分积D与完全积中的C，也很明显是1。D由―□×2‖得来，最大的一位数乘2也只能进1。由D=1，断定C=1。知道D=1，―D+E‖又进位，推断E不是8必是9。如果E 是8，则F非6即7，但是F+8=9，所以E不可能是8。部分积―GH□‖和―E8□‖都是被乘数与1相乘得到的，所以，E=G=9，H=8。知道了H=8，从―8+K=□2‖断定K=4。K是被乘数与2相乘得到的，乘2后积的尾数是4的只有2或7。再通过一些试算，算式中的数字，便一个个都推断了出来。
例8：下面的算式，没有一个已知数。只知道式内的全部数字都是质数。能把所有的数字都出来吗？
解：式中的全部数字都是质数，那么组成算式的数字只能是2、3、5、7四个数字。从三位数乘得的积都是四位数，并且得数全部是质数，我们可以用2、3、5、7任组成一个三位数和一个一位数相乘，凡积也全部是质数的就记下来，不符合就舍弃，这样使范围逐步缩小。经尝试，只有775×3=2325，555×5=27
小齐齐的大世界
75，755×5=3775，325×7=2275四种情况。
要符合题目的条件，乘数只能是数字相同的两位数。这样也有四种情况：775×33555×55775×55325×77。相乘后，不仅它们的部分积，连完全积也必须都是质数，才能符合题意。经检验后，只有下面的算式符合：
例7 例8