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指数函数exp(x)的求导证明

在高中时，指数函数的导数为其本身，我觉得这个性质非常奇妙，可书上只有一个等式，并没有给出证明，我那时候百思不得其解。上大学后，书上也没有明确给出其严格的证明。下面是我的证明方法，当然要用到极限的概念。
首先，自然对数的定义为：
则
注意到上式中的最后一个式子，令
则有，且当时，，所以
指数函数求导
最后，根据导数的定义，即有
得证。