指数函数求导
以下是网友分享的关于隐函数求导公式的证明的资料6篇,希望对您有所帮助,就爱阅读感谢您的支持。
篇一:反三角函数求导公式的证明一
一、反函数的导数
设x
在间I x 假定x =ϕ(y ) 在I y 内单调、可导,而且ϕ’(y ) ≠0,则反函数y =f (x ) =ϕ(y ) 是直接函数,y =f (x ) 是它的反函数,={x |x =ϕ(y ), y ∈I y }内也是单调、可导的,而且f ‘(x ) =1 ϕ’(y ) 证明: ∀x ∈I x x ,给
于是x 以增量 x ( x ≠0, x + x ∈I x ) 由y =因直接函数x f (x ) 在 I x 上的单调性可知 y =f (x + x ) -f (x ) ≠0x y 1= x y =ϕ(y ) 在I y 上单调、可导,故它是连续的,且反函数y =f (x ) 在I x 上也
是连续的,
当 x →0时,必有 y →01∆y 11即:f ‘(x ) = =lim = x →0∆x x →0 y ϕ’(y ) ϕ’(y )
x lim
【例1】 试证明下列基本导数公式
(1)(arcsinx )’ =(2)(arctanx )’ =11+x 2(3)(loga x )’ =1 x ln a
证1、设x =sin y 为直接函数,y =arcsin x 是它的反函数函数x =sin y 在 I y =(-
有 (arcsinx )’ ==(-1,1) 上,ππ, ) 上单调、可导,且 x ‘ =cos y ≠0 22因此,在 I x 1cos y 注意到,当y ∈(-ππ, ) 时,cos y >
0,cos y ==22
因此,
(arcsinx )’ =
证2 设x
1, ) 则y =arctan x , I x =(-∞, +∞) x =tan y 在 I y 上单调、可导且 x ‘ =>0故222cos y 111(arctanx )’ ==cos 2y == (tany )’ 1+tan 2y 1+x 2=tan y ,I y =(-ππ
证3 (loga x )’ =11= (a y )’ a y ln a
类似地,我们可以证明下列导数公式:
(arccosx )’ =(arctanx )’ =-11+x 2(lnx )’ =1 x
二、复合函数的求导法则
如果u =ϕ(x ) 在点x 0可导,而y =f (u ) 在点u 0=ϕ(x 0) 可导,则复合函数y =f [ϕ(x )]在点x 0可导,且导数为dy =f ‘(u 0) ∙ϕ’(x 0) dx x =x 0
证明:因 u →∞lim =f ‘(u 0) ,由极限与无穷小的关系,有 y =f ‘(u 0) u +α u (当 u →0时,α→0)
用 x
由u ≠0去除上式两边得:dy u u =f ‘(u 0) ∙+αdx x x , =ϕ(x ) 在x 0的可导性有: x →0⇔ u →0lim α=lim α=0
x →∞ u →∞
∆y ∆u ∆u ∆u ∆u =lim [f ‘(u 0) ∙+α]=f ‘(u 0) ∙lim +lim α∙lim x →∞∆x x →∞ x →0∆x x →0 x →0∆x ∆x ∆x lim dy =f ‘(u 0) ∙ϕ’(x 0) dx x =x 0
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述:若u =ϕ(x ) 在开区间I x 可导,y =f (u ) 在开区间I u 可导,且∀x ∈I x 时,对应的
dy dy du =∙ (2) u ∈I u ,则复合函数u =f [ϕ(x )]在I x 内可导,且dx du dx
y =f {φ[ϕ(x )]},求
引入中间变量, 设 v
变量关系是 【例2】dy dx =φ(x ), u =ϕ(v ) ,于是 y =f (u ) y -u -v -x ,由锁链规则有:
dy dy du dv =∙∙ dx du dv dx
【例3】求y =sin 2x 的导数dy 。 dx
解:设 u =2x ,则y =sin u ,u =2x :
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