高考数学培优---对数单身狗、指数朋友
【方法点拨】
对数单身狗，指数朋友：
①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.
由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.
②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数朋友”.
由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
【典型题示例】
例1 已知函数，当x≥0时，f（x）指数函数求导≥x3+1，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.
【解析】等价于.
设函数，则
.
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
点评：解决形如f(x)ex＋g(x)常见结论ex≥x＋1（有时甚至ex≥x＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．
例2若不等式对所有都成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】原问题等价于对所有都成立，
令， ，则．
（1）当时，恒成立，即在上单调递增，因而恒成立；
（2）当时，令，则 ， 在上单调递减，在上单调递增，，不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
点评：上述解法优势在于，将lnx的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．
【巩固训练】
1.已知ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞)成立，则实数a的取值范围是________．
2.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时,f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
3.已知对任意的，则实数的取值范围是 .
4. 已知关于的方程在上有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 .
5. 已知的零点不少于两个，则实数的取值范围是 .
6. 已知有两个零点，则实数的取值范围是 .
7. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
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