§8.4 椭 圆
Ａ组 基础题组
A.2 B.3 C.4 D.9
A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆
3.(2022超级中学原创猜测卷八,7,5分)已知a>0,椭圆+y2=1与双曲线2x2-ay2=1共焦点,过点M(-2,0)的直线l与椭圆交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2的值为( )
A.2 B.-2 C. D.-
4.(2021温州二模,13,4分)若椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,),且椭圆的长轴长是焦距的两倍,则a= .
5.(2022江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .
7.(2022领航高考冲刺卷一,9,6分)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .
8.(2021浙江模拟训练冲刺卷四,15)已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F2,点P是两曲线的一个交点,且=,其中F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,则椭圆的离心率e= .
9.(2021浙江杭州学军中学第五次月考,21)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=2.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)假如|AB|=,求椭圆C的方程.
10.(2021陕西,20,12分)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
11.(2021宁波一模,18,15分)如图,设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l交椭圆于P,Q两点,若圆O:x2+y2=b2过F1,F2,且△PF1F2的周长为2+2.
(1)求椭圆C和圆O的方程;
(2)若M为圆O上任意一点,设直线l的方程为4x-3y-4=0,求△MPQ面积S△MPQ的最大值.
12.(2021衢州二模,18,15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.
13.(2022北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试推断直线AB与圆x
2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
14.(2021陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
B组 提升题组
1.(2021课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
2.(2021浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在其次、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
A. B. C. D.
3.(2021衢州二模,7,5分)设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)上的动点,且满足+≤2,则a+b的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.[1,2] C.[1,+∞) D.(0,2]
4.(2021温州一模,12,6分)已知F1,F2是椭圆C:+=1的左,右焦点,过右焦点F2的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,M是弦AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,则△ABF1的周长等于 ,斜率k= .
5.(2021浙江,15,4分)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
6.(2022课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
7.(2021金华十校联考,19,15分)已知椭圆C:+=1的左顶点为A(-3,0),左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0(m∈R)的圆心M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点A且与圆M相切于点B的直线交椭圆C于点P,P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q,若B,M,Q三点共线,求实数m的值.
8.(2021浙江湖州中学期中,21)已知A、B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,点D在椭圆C上,且直线DA与直线DB的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,已知P,Q是椭圆C上不同于顶点的两点,直线AP与QB交于点M,直线PB与AQ交于点N.若直线PQ过椭圆的右焦点F2,求直线MN的方程.
9.(2021浙江宁波十校联考,19)设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,其中一个顶点为P(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设等腰Rt△PAB是椭圆C的内接三角形,∠APB=90°,点A、P、B按顺时针方向排列,求直线AP5年高考3年模拟的方程.
10.(2022超级中学原创猜测卷三,19,15分)如图,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆C1和圆心在坐标原点的圆C2都经过点M(0,-3),且椭圆C1的离心率为.
(1)求椭圆C1和圆C2的方程;
(2)过点M引两条斜率分别为k1,k2的直线分别交C1,C2于点P、Q,若PQ⊥y轴,则是否存在正常数l使得k1=lk2?若存在,求出l;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,求△MPQ的面积的最大值.
11.(2022广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
12.(2022陕西,20,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连结而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
13.(2021浙江名校(衢州二中)沟通卷二,18)如图,已知圆O:x2+y2=1的一条切线与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,且切线AB与圆O的切点Q在y轴的右侧,F为椭圆C的右焦点.
(1)求△ABF的周长;
(2)求△OAB面积的最大值.
14.(2021浙江冲刺卷一,21)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率e=.点P是椭圆C上位于第一象限内的点,满足cos∠F1PF2=,△F1PF2的面积为.
(1)求椭圆的方程及点P的坐标;
(2)经过点P斜率为k和-k的两直线l1,l2分别与椭圆交于点M,N.
①试问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
②当1≤k≤2时,求直线MN在y轴上的截距的取值范围.
Ａ组 基础题组
1.B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.故选B.
2.D 由于(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-<0,又sinθ+cosθ=>0,且θ是△ABC的内角,所以sinθ>-cosθ>0,故>>0,而x2sinθ-y2cosθ=1可化为+=1,所以方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.
3.D 将双曲线2x2-ay2=1化为标准方程为-=1,由题意得a-1=+,解得a=2或a=-(舍去),故椭圆的方程为+y2=1.易知直线l:y=k1(x+2),把y=k1(x+2)代入椭圆的方程并化简得(1+2)x2+8x+8-2=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=-,故P,所以k2=×=-,所以k1k2=-.
4.答案 2
解析 椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,),则b=,由于椭圆的长轴长是焦距的两倍,则a=2c,又由于a2=b2+c2,所以有a2=3+,解得a=2.
5.答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,
+=1②.
①、②两式相减并整理得=-·.
把已知条件代入上式得,-=-×,
∴=,故椭圆的离心率e==.
6.答案 5
解析 设P(x0,y0),∵F1(-,0),F2(,0),
∴=×2×|y0|=6,得=,则=16-=,
∴·=-7+=5.
7.答案 2;
解析 依据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,由于|PF1|=4,所以|PF2|=2.又|F1F2|=2c=2,在△F1PF2中,依据余弦定理得cos∠F1PF2==-,所以∠F1PF2=.
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