2023年高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）
A．2 B．5 C．13 D．22
2．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）
A．40
243B．
70
243C．
80
243D．
38
243
3．设
2,(10)
5年高考3年模拟()
[(6)],(10)
x x
f x
f f x x
-≥
⎧
=⎨
+<
⎩，则(5)
f=(  )
A．10 B．11 C．12 D．13
4．已知a R
∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为（）
A．
3
2
-
B．
3
2C．
2
3
-
D．
2
3
5．若实数x、y满足
2
1
y
x y
y x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥
⎩，则2
z x y
=+的最小值是（）
A．6B．5C．2D．3 2
6．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（）
A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
7．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（    ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知抛物线
2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：
①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；
③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．
其中，所有正确判断的序号是（    ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
9．若函数()2
ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,2
D ．()2,e
10．已知
()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（    ） A ．10 B ．32 C ．40 D ．80
11．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（  ）
A ．22
142-=x y  B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=
12．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为
()4,1，则MP d +的最小值是（    ）
A ．17
B ．4
C ．2
D ．117+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=______，
cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC ，ABC ＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC1与AC 所成角的余弦值为_____．
15．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
16．已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数1()()ln f x x x x =-，
()k g x x x =-. （1）证明：函数()f x 的极小值点为1；
（2）若函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，证明：
1718k <≤. 18．（12分）函数()()211.4f x x =+
（1）证明：()()22
f x f x +-≥； （2）若存在x R ∈，且1x ≠-，使得()()21
1
4f x m m f x +≤--成立，求m 取值范围.
19．（12分）在①2a =，②2a b ==，③2b c ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积的值（或最大值）．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且            ，求ABC 的面积的值（或最大值）．
20．（12分）设函数(),0
f x x a a =+>.
(Ⅰ)当2a =时，求不等式
()2f x x <；的解集； (Ⅱ)若函数()()()
1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20，求a 的取值范围. 21．（12分）设函数()3f x x =+，()21g x x =-.
（1）解不等式()()f x g x <；
（2）若2()()4f x g x ax +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.
22．（10分）如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.
（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若22 30AD AB BC CAD ==∠=︒，，
，求四面体ABCD 的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据三视图还原出几何体，到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
2、C
【解析】
先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【详解】
从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，
两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)
∴摸一次中奖的概率是51153=，
5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是1 3，
∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是
3
5
22
2180
()()
33243
C⋅⋅=
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．
3、B
【解析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．
【详解】
∵f（x）
()
()()
210
610
x x
f f x x
⎧-≥
⎪
=⎨
⎡⎤
+
⎪⎣⎦
⎩＜，
∴f（5）＝f[f（1）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．4、A
【解析】
根据复数的乘法运算法则化简可得
()
3+223
a a i
+-
，根据纯虚数的概念可得结果.
【详解】
由题可知原式为
()
3+223
a a i
+-
，该复数为纯虚数，
所以
3+203 2302
a
a
a
=
⎧
⇒=-⎨
-≠
⎩.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.
5、D
【解析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【详解】
作出不等式组
2
1
y
x y
y x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥
⎩所表示的可行域如下图所示：