2023年高考数学强基计划模拟题（八）
(满分100分，测试时间：60分钟)
一、填空题（每小题10分）
1.函数与的图像共有          个交点．
2.设是正整数，方程共有          组整数解．
3.已知映射既是单射又是满射，并且满足，则          ．
4.函数的取值范围是          ．
5.设是等边三角形，，，直线交于点，，则          ．
6.设正四棱锥的底面边长和高都是，点，，分别在线段，，上，则的最小值是          ．
二、解答题（每小题20分）
7.对于任意的，求的值．
8求满足下列要求的无穷整数数列的个数，对于每个正整数满足，．
答案
1.【答案】 
解：作出草图，因为，，所以交点个数为．
2.【答案】 
解：，非负解的个数为．
，，种
，，种
，，种
，，种
最终共有种．
3.【答案】 
解：设，则，令，则，关于对称，所以．
4.【答案】 
5年高考3年模拟
解：，，，
利用几何意义，，根据两边之差小于第三边，又注意到，，三点共线时可以取到，故
令，考虑的情况，显然时，原式最大值为．
5.【答案】 
解：以为原点建系，设出坐标，易得．
6.【答案】 
解：
如图所示，因为，
所以．
设，将打开，，
所以．
因为，所以上式单调递增，在时最小，
故F点在点时最小，从而．
7.【答案】解法由三倍角公式可得．
设，利用三倍角公式进行化简，再利用三角函数的其他公式化简，可得
．
解法复数法设，，则有
，．
因为
，
由，，，
，可得，所以
． 
8.【答案】由题意可得满足给定条件的第一个数列由前两项确定，因此只需要求整数数对，满足所有的其他项均为整数．
由条件易知
两式相减得．
由题意可知，故问题有如下两种情形：
若，则由可得，．
若，则，故
                   
所以可得，即是一个不增正整数数列，
故必从某一项开始为正整数常数所以存在和，对于所有的，，由式得，故．
由定义，，从而的值有如下情形：
，
，
，
，
与矛盾，故不合题意，只有满足条件．
将和代入定义，解得当，时，得，，，，，，，，，，，且，故共有个满足题意的数列．