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吉林省长春市2019年中考数学试卷
数  学
一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1.如图,数轴上表示的点A到原点的距离是                            (  )
A.                B.                    C.                D.
2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,吉林省中考275 000 000这个数用科学记数法表示为                                (  )
A.        B.            C.            D.
3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是    (  )
A
B
C
D
4.不等式的解集为                                            (  )
A.            B.            C.                D.
5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x,买鸡的钱数为y,可列方程组为                                        (  )
A.                            B.
C.                            D.
6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为,则梯子顶端到地面的距离C为                                        (  )
A.米
B.米
C.米
D.米
7.如图,在中,为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使,则符合要求的作图痕迹是                                (  )
A
B
C
D
8.如图,在平面直角坐标系中,的顶点A、C的坐标分别是、.,,则函数的图象经过点B,则k的值为                                                                        (  )
A.                B.                C.                D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
9.计算：    .
10.分解因式：    .
11.一元二次方程的根的判别式的值是    .
12.如图,直线,点A、B分别在MN、PQ上,.过线段AB上的点C作交PQ于点D,则的大小为    .
13.如图,有一张矩形纸片ABCD,,.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF；再将沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则的周长为    .
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为    .
三、解答题(共10小题,满分78分)
15.(本小题满分6分)
先化简,再求值：,其中.
16.(本小题满分6分)
一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.
17.(本小题满分6分)
为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
18.(本小题满分7分)
如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作,点E在BC边上,连结AE交于点F,连结BF并延长交CD于点G.
(1)求证：；
(2)若,,求的长.(结果保留)
19.(本小题满分7分)
网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习的调查.数据如下(单位：时)：
3
2.5
0.6
1.5
1
2
2
3.3
2.5
1.8
2.5
2.2
3.5
4
1.5
2.5
3.1
2.8
3.3
2.4
整理上面的数据,得到表格如下：
网上学习时间x(时)
人数
2
5
8
5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
2.4
m
n
根据以上信息,解答下列问题：
(1)上表中的中位数m的值为    ,众数n的值为    .
(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.
(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.
20.(本小题满分7分)
图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
(1)在图①中以线段AB为边画一个,使其面积为6.
(2)在图②中以线段CD为边画一个,使其面积为6.
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且.
图①
图②
图③
21.(本小题满分8分)
已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.
(1)乙车的速度为    千米/时,    ,    .
(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.
(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.
22.(本小题满分9分)
教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.
例2 如图,在中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：.
证明：连结ED.
请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.
结论应用：在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.
(1)如图②,若为正方形,且,则OF的长为    .
(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为,则的面积为    .
图①
图②
图③
23.(本小题满分10分)
如图,在中,,,.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P到达终点时,P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作.设与重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒.
(1)①AB的长为    ；
②PN的长用含t的代数式表示为    .
(2)当为矩形时,求t的值；
(3)当与重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式；
(4)当过点P且平行于BC的直线经过一边中点时,直接写出t的值.