1引言
在美学领域，黄金比例被视为最美的比例。在线性黄金分
割中，摄影构图中的最佳比例是0.618∶0.382，在建筑中存在着边长比为1∶0.618的黄金矩形，穹顶建筑也存在着黄金分割
[1-2]
。
与黄金比例0.618相对应的还有黄金角度137.5°，它恰好把圆周分成两条比值为1∶0.618的半径。许多植物的生长规律都遵循着黄金角度，如车前草之间的夹角为137.5°，这样排列能更
充分地获得光照。从线性黄金分割到黄金角度,0.618、0.382、1.618这几个数字常被视为美与最佳的代表，令Φ=0.618，则与0.618相关的几个数都可以用Φ来表示,Φ2=1-0.618,1/Φ=1.618，这几个数都可被定义为黄金数。
力学中常有最优值问题，如最优结构形式、最佳截面比等，而力学问题的最优解往往与形有关。图解静力学[3]和拓扑优化法作为两种常用的力形分析方法，在结构优化中发挥很大作用，而结构优化的结果往往与自然界存在的形态相似[4]。因此可以推测：力学中的最优值与美学中的最优值即黄金数Φ有关。
【作者简介】韦璐茜（1994~），女，广西南宁人，从事结构健康监测、结
构力学研究。
力学中的最优值与黄金数的关系研究
Study on the Relationship Between Optimal Value in Mechanics and the Golden Number
韦璐茜1，覃英宏1，潘卓均2，汪天宇2，黄婵1，黄美玲1
（1.广西民族大学建筑工程学院，南宁530004；2.广西大学土木建筑工程学院，南宁530004）WEI Lu-xi 1,QIN Ying-hong 1,PAN Zhuo-jun 2,WANG Tian-yu 2,HUANG Chan 1,HUANG Mei-ling 1
(1.School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi Minzu University,Nanning 530004,China;
2.School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University,Nanning 530004,China)
【摘要】力学中存在着许多最优值问题，过往研究更多地从数学和力学角度分析，鲜有分析最优值与美学中的黄金数0.618的关
点位置与黄金数相关；（2）在材料力学中，摩尔圆确定应力状态，却忽略了中间主应力的效应，当岩石的拉压强度比是黄金数的倒数时，中间主应力与其他主应力的关系满足黄金比例，此时岩石强度达到最大值；（3）当岩石的拉压强度比为黄金数的3次方时，土体的内摩擦角为36°，是所有常见土体中的最大平均值。黄金数不仅可以作为提高力学效率的关键判定因素，还可以应用于各类工程中，为工程设计的合理性与经济性的统一打下基础。
【Abstract 】There are a lot of optimal value problems in mechanics.The previous researches are mostly from the mathematical and mechanical
perspective,but rarely analyze the relationship between optimal value and golden number in aesthetics 0.618.Through theoretical research,it is found that:(1)The gold equation can reflect the bending moment distribution law of the cantilever beam under common loads,and the position of the beam's reverse bending point is related to the golden number.(2)In the mechanics of materials,the mohr circle determines the state of stress,but ignores the effect of intermediate principal stress.When the tensile-compression strength ratio of rock is the inverse of the golden number,the relationship between intermediate principal stress and other principal stresses meets the golden ratio,and the rock strength reaches the maximum value.(3)When the tensile-compression strength ratio of rock is a cube of the golden number,the internal friction angle of soil is 36°,which is the maximum average of all common so
ils.The golden number can not only be used as a key factor to improve mechanical efficiency,but also can be applied to all kinds of engineering,which lays a foundation for the unification of rationality and economy of engineering design.
【关键词】力学；黄金数；中间主应力；摩尔圆；最优值
【Keywords 】mechanics;golden number;intermediate principal stress;Mohr circle;optimal value 【中图分类号】
TU31；O3【文献标志码】A
【文章编号】1007-9467（2023）08-0040-05
【DOI 】10.jsysj.2023.08.011
40
在力学领域，董天立[5]发现在力学中存在着接近黄金分割率的数值，朱贝贝[6]研究了一类二自由度系统振动的黄金分割率，但该研究仅针对某类特殊的系统进行研究，且与力学最优值无关。还有学者通过拓扑优化研究了叶脉分布中的黄金分割现象，该现象使得叶脉的力学性能几乎达到最优。该研究进一步说
明，力学中的最优值与自然界的黄金数之间是存在密切关联的，若能发现两者之间的规律，也许对于工程的设计和优化是个不小的帮助。本文通过理论推导得到了梁的内力分布、岩石强度、土体内摩擦角与黄金数Φ的关系，为黄金数应用于工程优化设计打下了基础。
2黄金数的来源
黄金数来源于数学中的线段划分问题[7]，假设整条线段AB的长度等于1，划分点C将线段分割成了长度分别为x和1-x的两部分，如图1所示。
1
x1-x
B C A
图1线段划分示意图
当x=5√-12≈0.618时，两段线段之间的关系存在:
1-x x=x
1
(1)
展开可得到:
x2+x-1=0(2)将方程解取倒数，可得到:
τ=1x=2-1±5√=1±5√2
满足方程:
τ2-τ-1=0(3)式(2)和式(3)被称为黄金方程。黄金数也常常被发现在几何图形中，例如，在五角星(或正五边形)中就存在许多黄金角度的例子。
如图2所示，在正五边形ABCDE中，对角线AC与BD和BE分别交于G,F，则有:
CF
AC=
AF
CF=0.618,
CG
CF=
FG
CG=0.618
且此时，五角星的每一个顶角都等于36°。△CAD、△DBE、△ECA、△BDA、△CEB都是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，在这些三角形中也存在着许多黄金分割，因此36°也被称为黄金角度。
B
C G F A
D E
图2正五边形
3黄金方程组及其方程解
黄金数不仅存在于几何领域，在力学领域里也扮演着有趣的角。为了探讨力学中的黄金数，先对式(2)和式(3)两个黄金方程进行分析。设:
ϕ(x)=x2+(-1)n-1a n x+(-1)n(4)
Ψ(τ)=τ2-a nτ+(-1)n(5)其中,n=1,2,3,4,…，数列a n=1,3,4,7,11,18,…，且数列满足a n+1=a n+a n-1。令方程等于零，当n取不同的数值时，可得到如表
nϕ（x）=0方程解Ψ（τ）=0方程解
1x2+x-1=0x=-1±5√2τ2-τ-1=0τ=1±5√2
2x2-3x+1=0x=（-1±5√2）2=3±5√2τ2-3τ+1=0τ=（1±5√2）2=3±5√2 3x2+4x-1=0x=（-1±5√2）3=-4±25√2τ2-4τ-1=0τ=（1±5√2）3=4±25√2 4x2-7x+1=0x=（-1±5√2）4=7±35√2τ2-7τ+1=0τ=（1±5√2）4=7±35√2 5x2+11x-1=0x=（-1±5√2）5=-11±55√2τ2-11τ-1=0τ=（1±5√2）5=11±55√2 6x2-18x+1=0x=（-1±5√2）6=18±85√2τ2-18τ+1=0τ=（1±5√2）6=18±85√2
表1黄金方程组及其方程解
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1所示的黄金方程组及其方程解。
在表1中发生了有趣的现象，方程表达式和方程解都与斐波那契数列密切相关。方程中的数列符合斐波那契数列分布，此时方程解也十分有趣。
设ϕ(x )=0的解为:
x =(-1)n
a n ±
b n 5
√2
(n =1,2,3,4,…)
(6)
方程解不仅满足了x =-1±5
√2
()n
，且b n
=1,1,2,3,5,8,…
也是斐波那契数列，其通项表达式为b n +1=b n +b n -1。观察方程Ψ(τ)=0，也发现了类似的现象，方程解τ=1±5
√2()
n
且
τ=a n ±b n 5√2
。
黄金方程及其方程解与斐波那契数列有着密切的关系，方程的表现形式与力学中的3种常见荷载所形成的矩的表达式有相似之处，是沟通力学与黄金数的重要桥梁。
4悬臂梁的反弯点与黄金数
悬臂梁在土木工程中被广泛应用，作用在梁上的基本荷
载一般包括3种：均布荷载(梁体自重)、集中荷载、集中力偶，且集中荷载和集中力偶往往具备交变荷载的特性。在复杂荷载作用下，梁内部将产生弯矩，梁截面的设计也往往与弯矩的分布密切相关。当梁内部产生不同方向的弯矩时，反弯点(弯矩为零的位置)的判断将影响到杆件材料的效率。
梁的弯矩方程与黄金方程有关。以式(3)为例，设线段总长度为l ，则式(2)的表达式由x 2
+x -1=0变为:
x 2
+lx -l 2
=0
(7)
对于图3所示悬臂梁，不计梁的自重，则弯矩方程可表达为:
M (x )=q 2
(x 2+lx -l 2)
(8)
对比式(7)和式(8)发现，黄金方程的表达式可以适用于梁内部弯矩的表达，由此推测，当弯矩为零时出现反弯点，反弯点的位置可能与黄金数有关。
A B
图3
悬臂梁
令M (x )=0则可得到梁的反弯点位置,x =(5√-12)l ≈
0.618l 。当施加在悬臂端的集中力偶为等值交变荷载，大小
为M A =ql 2
2
，集中荷载为变幅交变荷载，荷载大小为F A n ,
n =1,2,3,4,…，代表加载次数,F A n 遵循着F A n +1=F A n +F A n -1的规
律，每次加载对应的悬臂梁弯矩方程和反弯点的位置如表2所示。
表2
交变荷载下梁的弯矩方程和反弯点位置
编号
计算简图
弯矩方程
反弯点位置
1
M （x ）=q
2
（x 2+lx -l 2）x =（5√-12）
l
2
M （x ）=q 2
（x 2-3lx +l 2）x =（5√-12）2l
3
M （x ）=q 2
（x 2+4lx -l 2）x =（5√-12）3l
4
M （x ）=q 2
（x 2-7lx +l 2）x =（5√-12）4l 表2中弯矩方程的表达式与黄金方程表达式十分接近，反弯点位置的变化规律也与黄金方程的方程解变化规律非常相似，反弯点位置不断趋近于零，与实际受力相符。从表2中可看出，弯矩方程与黄金方程对应，反弯点位置对应与黄金方
程的方程解。说明力学与黄金数之间存在着微妙的关系，黄金方程可反映常见的梁在一般荷载作用下的弯矩变化，黄金数则与梁的反弯点的位置有关。
5应力状态中的黄金数———最优主应力数值
问题
材料力学中对于应力状态的确定可以由摩尔圆得出，但在摩尔圆中仅仅考虑了第一和第三主应力的大小，却忽略了中间主应力的效应。从20世纪80年代以来，许多学者都指出中间主应力σ2的改变(在σ1和σ3都不变的情况下，增加或减
小σ2)可以引起岩石的破坏，甚至可能引发地震[8]。中间主应力取何值时岩体强度最大由此成为值得讨论的问题。在考虑了
中间主应力效应的统一强度理论中我们发现，公式判别条件
42
对3个主应力之间的关系进行了归纳[9]，当三者之间的关系满足式(9)时，两个统一理论公式都适用，即:
σ2=σ3+ασ1
1+α
(9)式中,σ1,σ2,σ3分别为该应力点的第一、第二、第三主应力;α为材料的抗拉强度与抗压强度的比值。
根据式(9)可以得到:
σ2-σ3σ1-σ3=
α
1+α
(10)
式(10)在空间状态下的应力圆中表示的是小应力圆与大应力圆的直径比，该比值恒小于1。Bezalel Haimson[10]为了研究中间主应力对岩石强度的影响，采用真三轴试验，保持第三主应力σ3的数值不变，由小到大调整第二主应力σ2的数值，探究第一主应力σ1的大小，得到的试验结果如图4所示。
摩尔准则（σ2=σ3）
σ2/MPa
σ2=σ1σ2-σ3
σ1-σ3
σ3=10MPa σ3=25MPa σ3=40MPa σ3=60MPa σ3=100MPa
a上断层岩石
摩尔准则（σ2=σ3）
σ2=σ1
σ2/MPa
σ3=10MPa
σ3=40MPa
σ3=60MPa
σ3=100MPa σ2-σ3
σ1-σ3
b下断层岩石
图4粉砂岩的真三轴试验结果
从试验结果中发现，曲线都经历了先上升后下降的过程，通过提取各个曲线最高点的位置所对应的3个主应力的大小，可以发现当满足式(11)所示关系时，岩体强度达到最大值:
σ2-σ3
σ1-σ3=0.6~0.7(11)黄金数0.618也在此范围内。取α/(1+α)=0.618可得到α=1.618。上文提到令Φ=0.618，则可得到:
α=0.618
1-0.618
=
Φ
Φ2=
1
Φ(12)黄金数在材料力学中扮演着有趣的角。当材料的拉压强度比α为黄金数1/Φ时，中间主应力σ2与σ1和σ3的距离比为Φ∶Φ2，此时材料强度可达到最大值。
6土体中的黄金数——
—最优内摩擦角问题在土力学中，土体抗剪强度的计算方法图示参见图5，计算公式可用库伦-摩尔公式表示[11]:
τf=c+σtanφ(13)式中,τf为剪切破裂面上的剪应力，即土的抗剪强度;σtanφ为摩擦强度，其大小正比于法向压力σ;φ为土的内摩擦角;c为土的黏聚力，为法向应力为零时的抗剪强度，即其大小与所受法向应力无关，对于无黏性土,c=0
。
图5库伦-摩尔应力圆
由土体的抗剪强度公式表明，土体内摩擦角的增大对于抗剪强度的提高是有正向作用的。砂岩是最常见的修筑石材，主要由石英和长石组成，这两种成分也是组成地壳最常见的成分。在常见的土类里，砂土拥有最大的内摩擦角。由《工程地质手册》[12]中的统计数值取砂土的内摩擦角平均值，可得到平均内摩擦角为约为36°，即上文提到的黄金角度。
根据统一强度理论引入内摩擦角φ之后，临界判别条件公式为:
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【收稿日期】2022-10-09
σ2=σ1+σ32+σ1-σ32
sin φ
(14)
式中,φ为土体的内摩擦角。
联立式(9)和式(14)，可得到内摩擦角与材料拉压强度比之间的关系为:
sin φ=1-α1+α
(15)
当土体为砂土时，代入平均内摩擦角36°，可得到sin φ≈0.618，此时:
α=1-0.6181+0.618=Φ2
1/Φ
=Φ3
(16)
图5所示的应力摩尔圆与抗剪强度线围成的△O ′ba 中，将φ=36°代入，应力圆半径ab =0.618=Φ时，直线O ′b =0.618√=Φ√，三角形斜边O ′a=1，三条边之间的关系构成了黄金三角形。
黄金数Φ在土力学中也扮演着有趣的角。当sin φ≈Φ时，材料的拉压强度比α=Φ3，在应力圆与抗剪强度线构成的直角三角形中，三条边的比例为Φ∶Φ√∶1，且此时内摩擦角的数值等于36°，是所有常见土体
中的最大平均值。
7结论
除了美学中存在黄金数之外，力学中也存在黄金分割现
象。力学中的许多最优值都与黄金数Φ=0.618有关，且黄金数的存在包括了材料力学、土力学、结构力学等多个力学相关领域。
1)黄金方程x 2+x -1=0与x 2-x -1=0及其方程解与斐波那契数列密切相关。黄金方程可以表示悬臂梁在常见的3种荷载下的弯矩变化情况，且方程解反映了梁的反弯点位置，这对于提升构件材料的经济性提供了很大的帮助。
2)当岩石的中间主应力σ2与第一主应力σ1、第三主应力σ3之间的关系满足关系式(σ2-σ3)/(σ1-σ3)=Φ时，岩体强度取得最大值，此时材料的拉压强度比为黄金数1/Φ。
3)当土体的内摩擦角φ满足sin φ≈Φ时，内摩擦角的数值等于36°，是多种常见土体中的最大平均值，此时材料的拉压强度比α=Φ3，且在应力圆与抗剪强度线构成的直角三角形中,3条边的比例为Φ∶Φ√∶1。
黄金数在力学最优值中的发现使得力学和工程中的优化设计有了更多可能性。黄金数除了可以帮助人们判定最佳值
从而提高力学效率，还可能在工程优化设计中发挥作用，提升工程的经济性。在未来的研究中，仍需针对如何运用力学中的黄金数做进一步的研究，并力争将研究结果早日运用到实际工程中
朱贝贝。
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