五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授在给大学一年级学生讲高等数学课，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他在讲解数学归纳法的时候，先讲了这样一个故事：
某主妇养小鸡十只，公母各半。她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，„„第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。
（赵访熊，1908年——1996年，我国最早提倡和从事应用数学与计算数学的教学与研究的学者之一。）
赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。显然这是一种错误的不完全归纳法。我们经常会遇到涉及全体自然数的命题，对待这种问题，如果要否定它，你只要能举出一个反例即可。如果要证明它，由于自然数有无限多个，若是一个接一个地验证下去，那永远也做不完。怎么办？数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题，那就是数学归纳法。
【数学史话】
欧几里得的开端
实际上，人们很早就遇到了无限集合的问题，而当时具体的推导或计算都只是针对有限对象，实施有限次论证。怎样在具体的推导或计算中把握无限的难题，很早就摆在数学家面前了。
（欧几里得，公元前330年—公元前275年，古希腊伟大的数学家，被称为数学之父）
最先是古希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》中采用了近似于数学归纳法的思想。该书第九卷第20命题是：“素数比任何给定的一批素数都多。”
欧几里得在证明这一命题时采用了独特的“几何”方式，他把数视为线段：设有素数a、b、c，另设d＝a·b·c＋1，则d或是素数或不是素数。如果d是素数，则d是与a、b、c三者都不同的素数。
如d不是素数，则它必有素因数e，并且e与a、b、c都不同，所以一定有比给定的素数更多的素数。这一证明里隐涵了：若有n个素数，就必然存在n＋1个素数，因而自然推出素数有无
限多个。这里一种试图用有限推导把握无限的作法。虽然它不是很完善，但由于它隐涵着这个命题，人们还是普遍接受了它。这可以说是数学归纳法思想产生的早期，人们沟通有限和无限的一种初步的尝试。
帕斯卡的工作
欧几里得之后，似乎是由于数学的发展长期没有进一步提出涉及无限集合的问题，所以在漫长的18个世纪中没有人在这个问题上前进一步。直到16世纪，一位意大利数学家毛罗利科在他的《算术》一书中明确地提出了一个“递归推理”原则，并提出了一个例子：“证明 1＋ 3＋ 5＋…＋（2k－ 1）＝k2对任何自然数k都成立”。他用这一例子来说明这一原则的应用。不过他并没有对这一原则作出清晰的表述，所作的证明也仅限于对k＝2、3、4时进行的计算。他仍像欧几里得那样，隐涵地表示出原则的必要性。但由于他第一次正式提出这一原则，并以例子说明，所以人们认为毛罗利科是第一个正式应用数学归纳法的人。
明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家、物理学家帕斯卡。帕斯卡发现了一种被后来称作“帕斯卡三角形”的数表，即二项展开式系数表，中国称为“贾宪三角形”。它是宋代贾宪于公元11世纪最先发现的。而帕斯卡在研究证明这个“算术三角形”等三个命题时，
他最先准确而清晰地指出了证明过程所必须且只需的两个步骤，他称之为第一条引理和第二条引理。
第一条引理 该命题对于第一个底（即n＝1）成立，这是很显然的。
第二条引理如果该命题对任一底（对任一n）成立，它必对其下一底（对n＋1）也成立。
由此可见，该命题必定对所有n值都成立。
数学归纳法证明的第一个数学命题。
帕斯卡的证明方法正是现在的数学归纳法，他所提出的两个引理就是数学归纳法的两个步骤，他在1654年写出的著作《论算术三角形》中做了详尽的论述。因此，在数学史上，人们认为帕斯卡是数学归纳法的创建人。
爱的多米诺演员表（布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal ）公元1623年6月19日出生于多姆山省奥弗涅地区的克莱蒙费朗，法国数学家、物理学家、哲学家、散文家。）
归纳法的完善
由于帕斯卡的时代，尚没有建立表示自然数的符号，所以帕斯卡证明的第二步仍然只能以例子来陈述。1686年，瑞士数学家J·伯努利提出了表示任意自然数的符号，在他的《猜度术》一书中，给出并使用了现代形式的数学归纳法。
这样，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。后来，英国数学家德·摩根给定了“数学归纳法（mathematical Induction）的名称。 1889年，意大利数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，把数学归纳法作为自然数的公理之一（称为递归公理或数学归纳法公理）确立起来。这才为数学归纳法奠定了坚实的理论基础。 那么数学归纳法与人们通常说的逻辑学中的“归纳法”有什么关系呢？对这一问题曾有过数学归纳法是归纳方法还是演绎方法的争论。这主要缘于“数学归纳法”的名称有误，实际上，它应称为“递归方法”或“递推方法”，是一种“从n过渡到n＋1”的证明方法，与逻辑学中的归纳法没有什么关系。严格地说，它倒属于演绎方法：递归公理是它的一个大前提以有限把握无限。
数学归纳法中的递推思想在我们的生活实践中经常会遇到。比如家族的姓氏，我们知道通常按父系姓氏遗传，即下一代的姓氏随上一代父亲的姓确定，并且知道了有个家族第一代姓李，只要明确了这两点，我们就可以得出结论：这个家族世世代代都姓李。再比如，我们经常玩的多米诺骨牌，把骨牌按一定的间隔距离竖立起来，假定将其中任何一块推倒都可以波及下一块，这时你如果推倒了第一块，后面无论有多少块骨牌，肯定全部会倒掉。
这两个事例告诉我们这样一个道理：在证明一个包含无限多个对象的问题时，不需要也不可能逐个验证下去，只要能明确肯定两点：一是问题所指的头一个对象成立，二是假定某一个对象成立时，则它的下一个也必然成立，这两条合起来就足以证明原问题。数学归纳法就是在这个简单道理的基础上抽象而成的，它的现代表述是：证明关于自然数n的命题P（n），只要：一证明P（l）为真；二假设P（k）为真，则P（k＋l）为真。两项都得到证明，
则P（n）为真。
依赖于自然数的命题在数学中普遍存在，用数学归纳法证明这类命题，两步缺一不可。第一步叫奠基，是基础；第二步叫归纳，实际上是证明某种递推关系的存在。这是以有限来把握无限，通过有限次的操作来证明关于无限集合的某些命题。
数学界把数学归纳法视为沟通有限和无限的桥梁，假如没有这个桥梁，很难想象人类如何认识无限集合问题，数学的发展也将会大打折扣。所以，数学家非常重视并经常使用它，正是这座桥梁使人类通向了认识的彼岸！
【数学应用】
数学归纳法在概率论方面的应用
在概率问题中常会遇到一些与试验次数有关的重要结论，这些结论在使用数学归纳法证明时，常常需要配合使用全概率公式，从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特．下面我们一起来看一个具体的例子。
例1.设有个罐子，在每个罐子里各有个白球和个黑球，从第一个罐子中人任取一球放到第二个罐子里，并以此类推，求从最后一个罐子里取出一个白球的概率．
解：先探索规律，设
令“从第一个罐子里取出一个球，是白球”；“从第二个罐子中取出一个球，是白球”．
显然P()
所求概率P()P(︳)+P()P(︱)
．
这恰与时的结论是一样的，于是可以预见，无论为什么自然数，所求的概率都应是，则当时，有P()P(︳)+P()P(︱)．
于是，结论对所有自然数都成立．
数学归纳法在生物学中的应用
数学归纳法不仅在数学中有广泛的应用，在生物学应用数学归纳法也有重要的意义。下面我们一起来研究一个生物学中的例子。
例2.求含n对等位基因的杂合子产生配子的种类(n对等位基因位于n对同源染体上)。
解：当杂合子只含1对等位基因时，如，则它只能产生2种配子，即
当杂合子含2对等位基因时，如，则它只能产生4种配子，即
当杂合子含3对等位基因时，如，则它只能产生8种配子，即
由此猜想，含n对等位基因的杂合子产生配子的种类数
用数学归纳法证明如下：
（1） 当时，前面已证
（2） 假设时，，即（共k对等位基因）可产生种配子
那么当时，（共k+1对等位基因）可产生种含M的配子，也可产生种含m的配子。即可产生种配子。
由（1）（2）可知，含n对等位基因的杂合子产生配子的种类数
【思维导航】
假使我们证得特殊命题，成立，用不完全归纳法，断言对于所有自然数，命题都成立。 这样的论断是不可靠的。 而用完全归纳法进行列举，往往又不可能。 数学归纳法正是解决这类矛盾的一种推理方法，数学归纳法从本质上说是一种演绎推理的方法，但又不能和归纳推理等同。
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