2020年人大附中新高一入学分班考试数学试题
一、选择题
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值
y>1.有下列结论：
①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；③a+b+c>7．
其中，正确结论的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0，c>1)经过点(2,0)，其对称轴是直线x=1
2
.有下列结论：
①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；③a<−1
2
．
其中，正确结论的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD
于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为()
A. 1
B. √2
C. 2
D. 2√2
3题图4题图
4.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信MA和ND.甲在山脚点C处测得通信顶端M的
仰角为60°，测得点C距离通信MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基
站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25.若ND=5
8迷你小盲盒怎么做
DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信顶端M与顶端N的高度差为(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)()
A. 9.0m
B. 12.8m
C. 13.1m
D. 22.7m
5.若关于x的一元一次不等式组{3x−2≥2(x+2)
a−2x<−5的解集为x≥6，且关于y的分式方程y+2a
y−1
+3y−8
1−y
=2的解是
正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是()
A. 5
B. 8
C. 12
D. 15
6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB//x轴，AO⊥
AD，AO=AD.过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE.反比例函数y=k
x
(x>0)的图象经过点E，与边AB
交于点F，连接OE，OF，EF.若S△EOF=11
8
，则k的值为()
A. 7
3
B. 21
4
C. 7
D. 21
2 6题图7题图
7.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对
角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为()
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
8.关于x的分式方程ax−3
x−2+1=3x−1
2−x
的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组{
3y−2
2
≤y−1
y+2>a
有解，则所有满
足条件的整数a的值之和是()
A. −5
B. −4
C. −3
D. −2
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=k
x
(k>0,x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为()
A. 12
5
B. 3
2
C. 2
D. 3
9题图10题图
二、填空题
10.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且
CE=2，DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为______ ．
11.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
(Ⅰ)线段AC的长等于______ ；
(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP=AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何到的(不要求证明)______ ．
11题图12题图
12.如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD=
3，AB=CF=2，则CG的长为______
13.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边
都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是______．
14.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，
点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是____．
15.某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1.六
月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售
，
B、C饮料增加的销售额之比为2：1.
总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的1
15
六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为______ ．
16.如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△
ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若AE=BE，BC′=2，则AD的长为______ ．
17.盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途
径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为______ 元.
三、解答题
18.已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=42°，点D是⊙O上一点．
(Ⅰ)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
(Ⅱ)如图②，若CD//BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
19.在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A(4,0)，点B在
第一象限，矩形OCDE的顶点E(−7
2
,0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．(Ⅰ)如图①，求点B的坐标；
(Ⅱ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′=t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，
试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当5
2≤t≤9
2
时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
20.已知抛物线y=ax2−2ax+c(a,c为常数，a≠0)经过点C(0,−1)，顶点为D．
(Ⅰ)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)当a>0时，点E(0,1+a)，若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；
(Ⅲ)当a<−1时，点F(0,1−a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，N(m+3,−1)是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标．
21.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点
G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
(1)求证：△BEC∽△BCH；
(2)如果BE2=AB⋅AE，求证：AG=DF．
x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−1
2
0)经过点A．
(1)求线段AB的长；
(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=√5，求这条抛物线的表达式；
(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
23.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
(1)求证：∠BAC=2∠ABD；
(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
(3)当AD=2，CD=3时，求边BC的长．