郝易18号
一、1.概念：
从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆 盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类 问题叫做用多边形的平面镶嵌。
2.正n边形的镶嵌：
内角和 | 一个内角 | 是否能整 除360 | 能否密铺 | |
正三角形 | 180度 | 60度 | 是 | 是 |
| 多边形 | 360度 | 99度 | 是 | 是 |
正五边形 | 540度 | 108度 | 否 | 否 |
正六边形 | 720度 | 120度 | 是 | 是 |
正七边形 | 900度 | 900/7 度 | 否 | 否 |
正八边形 | 1080 度 | 135度 | 否 | 否 |
由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边
形可以进行镶嵌。
二、 三角形的平面镶嵌 因为三边形四个角和为 180度。所以只要把 不同的角往一个点
凑，这样两个就可以进行 平面镶嵌。
三、 四边形的平面镶嵌 因为四边形四个角和为 360度。所以只要把 不同的角往一个点
凑，就可以进行 平面镶嵌。
四、 五边形的平面镶嵌
设在一个顶点处，有n个角。若n > = 4 , 4 * 108 > 360 , 不能平面镶嵌。
若n <4 , 3 * 108 < 360 ,不能平面镶嵌。
由此得出：五边形不能平面镶嵌。
五、 六边形的平面镶嵌
正六边形一个角的度数为120度。120\360, 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：
对边相等的六边形也可以平面镶嵌:
六、 两种正多边形的平面镶嵌
① 正三角形和正方形
设需要用正三角形m个，正六边形n个
60m+120n=360
正八边形n个
m=6-2n
n =2,1
m=2,4
③正方形和正八边形 设需要用正方形m个,
90m+135n=360
2m+3n=8
m=(8-3n)/2
n =2
m =1
两种正多边形的平面镶嵌公式：
xm+yn=360
如果m、n没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。
如果有，则可以平面镶嵌，m, n分别表示每种正多边形的个
数，x, y分别表示每种正多边形的一个内角的度数。
七、 三种正多边形的平面镶嵌
① 正三角形、正方形和正六边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正六边形
60n+90m+120i=360
2n+3m+4i=12
n=(12-3m-4i)/2
n= 1
m = 2
i = 1
正三角形、正方形和正十二边形
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