正多边形的镶嵌知识介绍
浙江省定海五中  薛晓波
在镶嵌问题中最常见的，在数学中考查最多是正多边的镶嵌，镶嵌的基本条件是即不留缝隙，又不互相重叠，下面对于正多边形的镶嵌进行介绍：
一、一种正多边形的自镶嵌可能方案
正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形。为什么正三角形、正方形、正六边形能够覆盖一个平面？因为过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°。过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°，4个90°正好是360°。同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°，由此可知，要使正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形的内角度数能整除360°。如图
二、二种正多边形镶嵌可能方案
如果这种镶嵌由二种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢？如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。   由六种分别是一个正三角形和二个十二边形，为了方便说明记作
（3，12，12），则六种分别为    （3，12，12）    （4，8，8）    （5，5，10）    （3，3，6，6）    （3，3，3，4，4）    （3，3，3，3，6） 部分图案如图所示
三、由三种正多边形镶嵌可能方案
三种以上正多边形的镶嵌比用一种或二种要麻烦一点，虽然其图案的变化更多，但在生活中
除了艺术设计，我们并不常见，下面对于三种正多边形镶嵌可能方案进行说明，经探究发现共有八种，分别是
  （3，7，42）    （3，8，24）    （3多边形，9，18）    （3，10，15）      （4，5，20）    （4，6，12）      （3，3，4，12）      （3，4，4，6）
但在室内的墙纸或地板的实际操作时，如果光是用不同的正多边形来分割图案显得有点单调，因此常常考虑利用不同的颜块，这样做可以使图案看上去更美妙。下面图4所示的就是涂上颜后的情形。注意，哪怕是完全相同的镶嵌方式，由于涂的方法不同，看上去却近乎完全两样！ 
此外对于非凸多边形的考虑甚至更加有趣．大量的研究都集中在用全等的非凸多边形的镶嵌上，诸如用五米诺或多阶米诺，(① 原注：多阶米诺是由许多全等的正方形构成．例如一个五阶米诺是由五个全等的正方形用不同的形式连结在一起而组成的． )或者多阶三角，(②原注：多阶三角是由全等的等边三角形组成． )或者多阶六角．(③原注：多阶六角是由全等的正六角形组成． )但对于它们，许多问题尚留待解决．不过有一件东西是肯定的，那就是美
丽的数学镶嵌将会被不断地创造出来！