正多边形、圆、弧长公式及计算
正多边形和圆、弧长公式及有关计算
［学习目标］
1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：
（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：
将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆
先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的
，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：
n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。
二. 重点、难点：
1. 学习重点：
正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：
解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）
A. B. C. D.
解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1
又∵∠FAG＝60°
故选B
点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（）
A. 1∶2∶3
B.
C. D.
解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高
设，则AO＝2r，AD＝3r
∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3
故选A
点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（）
A. B.
C. D.
解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为
多边形
故选B
点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。
例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：（1）；
（2）
点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。
证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则
∴∠BEA＝36°
（2）
又∵公共角∠ABM＝∠EBA
∴△ABM∽△EBA
例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
解：∵正六边形的半径等于边长
∴正六边形的边长
正六边形的周长
正六边形的面积
点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。
例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
解：∵正方形的边长为2cm
∴正方形的外接圆半径为cm
∴外接圆的外切正三角形一边上的高为cm
∴正三角形的边长为
∴正三角形的面积为
点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。
例7. 如图所示，已知⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧
所围的阴影部分的面积。
解：连结，过点作
在中，
∴梯形的面积为：
又∵
∴扇形的面积为：
扇形的面积为：
∴阴影部分的面积为：
点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。