⾼中⽴体⼏何知识点总结（最新最全）⾼中⽴体⼏何知识点总结
⼀、空间⼏何体
（⼀）空间⼏何体的类型
1多⾯体：由若⼲个平⾯多边形围成的⼏何体。围成多⾯体的各个多边形叫做多⾯体的⾯，相邻两个⾯的公共边叫做多⾯体的棱，棱与棱的公共点叫做多⾯体的顶点。
2旋转体：把⼀个平⾯图形绕它所在的平⾯内的⼀条定直线旋转形成了封闭⼏何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
（⼆）⼏种空间⼏何体的结构特征
1、棱柱的结构特征
1.1棱柱的定义：有两个⾯互相平⾏，其余各⾯都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平⾏，由这些⾯所围成的⼏何体叫做棱柱。
1.2棱柱的分类
棱柱四棱柱平⾏六⾯体直平⾏六⾯体长⽅体正四棱柱正⽅体
性质：
Ⅰ、侧⾯都是平⾏四边形，且各侧棱互相平⾏且相等；
Ⅱ、两底⾯是全等多边形且互相平⾏；
Ⅲ、平⾏于底⾯的截⾯和底⾯全等；
1.3棱柱的⾯积和体积公式
（是底周长，是⾼）
S直棱柱表⾯=c·h+2S底
V棱柱=S底·h
2、棱锥的结构特征
2.1棱锥的定义
（1）棱锥：有⼀个⾯是多边形，其余各⾯是有⼀个公共顶点的三⾓形，由这些⾯所围成的⼏何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有⼀个棱锥的底⾯是正多边形，并且顶点在底⾯的投影是底⾯的中⼼，这样的棱锥叫做正棱锥。
正四⾯体：
对于棱长为正四⾯体的问题可将它补成⼀个边长为的正⽅体问题。
对棱间的距离为（正⽅体的边长）
正四⾯体的⾼（）
正四⾯体的体积为（）
正四⾯体的中⼼到底⾯与顶点的距离之⽐为（）
3、棱台的结构特征
3.1棱台的定义：⽤⼀个平⾏于底⾯的平⾯去截棱锥，我们把截⾯和底⾯之间的部分称为棱台。
3.2正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧⾯都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底⾯和平⾏于底⾯的截⾯都是正多边形；
（3）正棱台的对⾓⾯也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于⼀点。
4、圆柱的结构特征
4.1圆柱的定义：以矩形的⼀边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的曲⾯所围成的⼏何体叫圆柱。
4.2圆柱的性质
（1）上、下底及平⾏于底⾯的截⾯都是等圆；
（2）过轴的截⾯(轴截⾯)是全等的矩形。
4.3圆柱的侧⾯展开图：圆柱的侧⾯展开图是以底⾯周长和母线长为邻边的矩形。
4.4圆柱的⾯积和体积公式
S圆柱侧⾯=2π·r·h(r为底⾯半径，h为圆柱的⾼)
S圆柱全=2πrh+2πr2
V圆柱=S底h=πr2h
5、圆锥的结构特征
5.1圆锥的定义：以直⾓三⾓形的⼀直⾓边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的曲⾯所围成的⼏何体叫做圆锥。
5.2圆锥的结构特征
（1）平⾏于底⾯的截⾯都是圆，截⾯直径与底⾯直径之⽐等于顶点到截⾯的距离与顶点到底⾯的距离之⽐；
（2）轴截⾯是等腰三⾓形；
（3）母线的平⽅等于底⾯半径与⾼的平⽅和：
l2=r2+h2
5.3圆锥的侧⾯展开图：圆锥的侧⾯展开图是以顶点为圆⼼，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1圆台的定义：⽤⼀个平⾏于底⾯的平⾯去截圆锥，我们把截⾯和底⾯之间的部分称为圆台。
6.2圆台的结构特征
⑴圆台的上下底⾯和平⾏于底⾯的截⾯都是圆；
⑵圆台的截⾯是等腰梯形；
⑶圆台经常补成圆锥，然后利⽤相似三⾓形进⾏研究。
6.3圆台的⾯积和体积公式
S圆台侧=π·(R+r)·l(r、R为上下底⾯半径)多边形
S圆台全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·l
V圆台=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h为圆台的⾼)
7球的结构特征
7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转⼀周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球⾯，球⾯所围成的⼏何体称为球体。
7-2球的结构特征
⑴球⼼与截⾯圆⼼的连线垂直于截⾯；
⑵截⾯半径等于球半径与截⾯和球⼼的距离的平⽅差：r2=R2–d2
★7-3球与其他多⾯体的组合体的问题
球体与其他多⾯体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出⽴体图形；
⑵出多⾯体与球体连接的地⽅，出对球的合适的切割⾯，然后做出剖⾯图；
⑶将⽴体问题转化为平⾯⼏何中圆与多边形的问题；
⑷注意圆与正⽅体的两个关系：球内接正⽅体，球直径等于正⽅体对⾓线；
球外切正⽅体，球直径等于正⽅体的边长。
7-4球的⾯积和体积公式
S球⾯=4πR2(R为球半径)
V球=4/3πR3
（三）空间⼏何体的表⾯积与体积
空间⼏何体的表⾯积
棱柱、棱锥的表⾯积：各个⾯⾯积之和
圆柱的表⾯积：
圆锥的表⾯积：
圆台的表⾯积：
球的表⾯积：
扇形的⾯积公式（其中表⽰弧长，表⽰半径，表⽰弧度）
空间⼏何体的体积
柱体的体积：
锥体的体积：
台体的体积：
球体的体积：
（四）空间⼏何体的三视图和直观图
正视图：光线从⼏何体的前⾯向后⾯正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从⼏何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从⼏何体的上⾯向右边正投影，得到的投影图。
⼆、点、直线、平⾯之间的关系
（⼀）、⽴体⼏何⽹络图：
1、线线平⾏的判断：
（1）、平⾏于同⼀直线的两直线平⾏。
（3）、如果⼀条直线和⼀个平⾯平⾏，经过这条直线的平⾯和这个平⾯相交，那么这条直线和交线平⾏。
（6）、如果两个平⾏平⾯同时和第三个平⾯相交，那么它们的交线平⾏。
2、线线垂直的判断：
（7）、在平⾯内的⼀条直线，如果和这个平⾯的⼀条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平⾯内的⼀条直线，如果和这个平⾯的⼀条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
3、线⾯平⾏的判断：
（2）、如果平⾯外的⼀条直线和平⾯内的⼀条直线平⾏，那么这条直线和这个平⾯平⾏。
（5）、两个平⾯平⾏，其中⼀个平⾯内的直线必平⾏于另⼀个平⾯。
判定定理：
性质定理：
★判断或证明线⾯平⾏的⽅法
⑴利⽤定义(反证法)：，则∥α(⽤于判断)；
⑵利⽤判定定理：线线平⾏线⾯平⾏(⽤于证明)；
⑶利⽤平⾯的平⾏：⾯⾯平⾏线⾯平⾏(⽤于证明)；
⑷利⽤垂直于同⼀条直线的直线和平⾯平⾏(⽤于判断)。
2线⾯斜交和线⾯⾓：∩α=A
2.1直线与平⾯所成的⾓(简称线⾯⾓)：若直线与平⾯斜交，则平⾯的斜线与该斜线在平⾯影的夹⾓θ。
2.2线⾯⾓的范围：θ∈[0°，90°]
4、线⾯垂直的判断：
⑼如果⼀直线和平⾯内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平⾯。
⑾如果两条平⾏线中的⼀条垂直于⼀个平⾯，那么另⼀条也垂直于这个平⾯。
⒁⼀直线垂直于两个平⾏平⾯中的⼀个平⾯，它也垂直于另⼀个平⾯。
⒃如果两个平⾯垂直，那么在—个平⾯内垂直于交线的直线必垂直于另—个平⾯。
判定定理：
性质定理：（1）若直线垂直于平⾯，则它垂直于平⾯内任意⼀条直线。
即：
（2）垂直于同⼀平⾯的两直线平⾏。
即：
★1.5三垂线定理及其逆定理
⑴斜线定理：从平⾯外⼀点向这个平⾯所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：
⑵三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平⾯α内的射影为OA，a是平⾯
α内的⼀条直线。
①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。